独立事件
1 独立事件
1.1 两个独立的事件
在条件概率中，在已知事件
F
F
F发生的条件下事件
E
E
E发生的概率
P
(
E
∣
F
)
P(E|F)
P(E∣F)的计算方法为
P
(
E
∣
F
)
=
P
(
E
F
)
/
P
(
F
)
P(E|F)=P(EF)/P(F)
P(E∣F)=P(EF)/P(F)，我们对这个公式的理解在之前已经提到过了，即事件
F
F
F发生后，对事件
E
E
E的发生机会产生了影响。我们从样本空间的角度来看这个问题，
F
F
F发生后样本空间缩小到了
F
F
F包含的结果中，而
E
E
E中的结果在
F
F
F中所占的比例和之前不同了。假设样本空间
S
S
S为：
S
=
{
r
1
,
r
2
,
r
3
,
r
4
,
r
5
,
r
6
}
S = \{r_1,r_2,r_3,r_4,r_5,r_6\}
S={r1,r2,r3,r4,r5,r6}
现在假设事件
E
E
E为：
E
=
{
r
1
,
r
2
}
E=\{r_1,r_2\}
E={r1,r2}
假设事件
F
F
F为：
F
=
{
r
2
,
r
4
}
F=\{r_2,r_4\}
F={r2,r4}
从样本空间的角度来看，概率
P
(
E
∣
F
)
=
1
2
P(E|F)=\cfrac{1}{2}
P(E∣F)=21，
P
(
E
)
=
1
3
P(E)=\cfrac{1}{3}
P(E)=31，这是因为，
E
E
E中的结果在整个样本空间占比为
1
3
\cfrac{1}{3}
31，而在
F
F
F中的占比为
1
2
\cfrac{1}{2}
21。由此确实可以看出
F
F
F的发生对
E
E
E的发生机会产生了影响。现在假设
F
F
F为：
F
=
{
r
2
,
r
3
,
r
4
}
F=\{r_2,r_3,r_4\}
F={r2,r3,r4}
E
E
E不变，那么
P
(
E
∣
F
)
=
1
3
P(E|F)=\cfrac{1}{3}
P(E∣F)=31，
P
(
E
)
=
1
3
P(E)=\cfrac{1}{3}
P(E)=31，我们会发现
P
(
E
∣
F
)
=
P
(
E
)
P(E|F)=P(E)
P(E∣F)=P(E)，因为
F
F
F的发生并不影响
E
E
E的发生机会，这时候我们就称
E
E
E和
F
F
F就是独立的。
定义：对于两个事件
E
E
E和
F
F
F，若
P
(
E
F
)
=
P
(
E
)
P
(
F
)
P(EF)=P(E)P(F)
P(EF)=P(E)P(F)则称它们是独立的。若两个事件
E
E
E和
F
F
F不独立，则称它们是相依的，或互相不独立。
根据独立事件的定义，会得到一个有用的命题：如果
E
E
E和
F
F
F独立，那么
E
E
E和
F
c
F^c
Fc也独立。（
E
=
E
F
⋃
E
F
c
E=EF\bigcup EF^c
E=EF⋃EFc）
1.2 三个及多个独立的事件
定义：3个事件
E
E
E，
F
F
F，
G
G
G如果满足：
P
(
E
F
G
)
=
P
(
E
)
P
(
F
)
P
(
E
)
P
(
E
F
)
=
P
(
E
)
P
(
F
)
P
(
E
G
)
=
P
(
E
)
P
(
G
)
P
(
F
G
)
=
P
(
F
)
P
(
G
)
P(EFG)=P(E)P(F)P(E)\\ P(EF)=P(E)P(F)\\ P(EG)=P(E)P(G)\\ P(FG)=P(F)P(G)
P(EFG)=P(E)P(F)P(E)P(EF)=P(E)P(F)P(EG)=P(E)P(G)P(FG)=P(F)P(G)
则称，
E
E
E，
F
F
F和
G
G
G是独立的。将独立性的定义推广到多个事件则对于事件
E
1
,
E
2
,
⋯
,
E
n
E_1,E_2,\cdots,E_n
E1,E2,⋯,En，若对这些事件的任意子集
E
1
′
,
E
2
′
,
⋯
,
E
r
′
E_{1′},E_{2′},\cdots,E_{r’}
E1′,E2′,⋯,Er′都满足:
P
(
E
1
′
E
2
′
⋯
E
r
′
)
=
P
(
E
1
′
)
P
(
E
2
′
)
⋯
P
(
E
r
′
)
P(E_{1′}E_{2′}\cdots E_{r’})=P(E_{1′})P(E_{2′})\cdots P(E_{r’})
P(E1′E2′⋯Er′)=P(E1′)P(E2′)⋯P(Er′)
则称这些事件是独立的。最后，对于无限个事件的独立性，如果无限个事件的任意有限个子集都是独立的，则称这无限个事件是独立的。
有时，所考虑的概率试验由一系列子实验组成，例如连续抛掷一枚硬币这个试验，就可以把每掷一次看作一个子试验。在许多场合下，假定任一组子试验的结果不影响其他子试验的结果是合理的。如果真是这样，我们称这些字试验是独立的。更确切地说，如果任意的事件序列
E
1
,
E
2
,
⋯
,
E
n
,
⋯
E_1,E_2,\cdots, E_n,\cdots
E1,E2,⋯,En,⋯是独立的，则称这一系列子试验是独立的，这里，事件
E
i
E_i
Ei完全由第
i
i
i词子试验的结果所决定。
如果各个子试验彼此相同，即各子试验具有相同的（子）样本空间及相同的事件概率函数，那么就称这些试验为重复试验。
另外，如果
E
E
E和
F
F
F是一次试验中的两个互不相容事件。那么在连续试验时，事件
E
E
E在事件
F
F
F之前发生的概率为：
P
(
E
)
P
(
E
)
+
P
(
F
)
\cfrac{P(E)}{P(E)+P(F)}
P(E)+P(F)P(E)
2 独立与不相容
独立事件与互不相容事件的区别是很大的，如果没有理解概率论公理，样本空间，事件等这些基本概念，有时会将这两个事情搞混，但是如果顺着这些基本概念来看，两者根本没有相似的地方。独立是指一个事件的发生不影响另一个事件的发生机会，而不相容是指事件不可能同时发生（回忆不相容的定义）。
参考资料：《概率论基础教程》Sheldon M.Ross