近世代数–极大理想–I是R的极大理想↔R/I是域
博主是初学近世代数（群环域），本意是想整理一些较难理解的定理、算法，加深记忆也方便日后查找；如果有错，欢迎指正。
我整理成一个系列：
近世代数
，方便检索。
商环类似商群，通过对环、理想限制某些条件，可以构造出不同特点的环。现在我们通过素理想，构造整环；通过极大理想，构造域
。
-
极大理想maximal ideal
：
M M
M
R R
R
为环，
M M
M
是
R R
R
的真理想，(这里是
真理想的定义
)，如果对于
R R
R
中任一包含
M M
M
的理想
N N
N
，必有
N = M N=M
N
=
M
或
N = R , N=R,
N
=
R
,
则
M M
M
是
R R
R
的极大理想。 -
极大理想例子
：-
Z 18 Z_{18}
Z
1
8
的所有极大理想
Z 18 Z_{18}
Z
1
8
的所有理想：
< 0 > 、 < 1 > 、 < 2 > 、 < 3 > 、 < 6 > 、 < 9 > <0>、<1>、<2>、<3>、<6>、<9>
<
0
>
、
<
1
>
、
<
2
>
、
<
3
>
、
<
6
>
、
<
9
>
-
< 1 > <1>
<
1
>
不是真子集； -
< 6 > ⊆ < 3 > <6>\subseteq <3>
<
6
>
⊆
<
3
>
，不是极大理想； -
< 9 > ⊆ < 3 > <9>\subseteq <3>
<
9
>
⊆
<
3
>
，不是极大理想； -
< 0 > ⊆ < 3 > <0>\subseteq <3>
<
0
>
⊆
<
3
>
，不是极大理想； -
< 2 > 、 < 3 > <2>、<3>
<
2
>
、
<
3
>
是
Z 18 Z_{18}
Z
1
8
的极大理想
-
-
< p > <p>
<
p
>
为
Z Z
Z
的极大理想
↔ p \leftrightarrow p
↔
p
为素数
-
< p > <p>
<
p
>
为
Z Z
Z
的极大理想
→ p \rightarrow p
→
p
为素数首先，有个
定理：
p p
p
是素数
↔ p ∣ a b \leftrightarrow p\mid ab
↔
p
∣
a
b
一定能得到
p ∣ a p\mid a
p
∣
a
或
p ∣ b p\mid b
p
∣
b
（
( p , a ) = 1 → p ∣ b , ( p , b ) = 1 → p ∣ a (p,a)=1\rightarrow p\mid b,(p,b)=1\rightarrow p\mid a
(
p
,
a
)
=
1
→
p
∣
b
,
(
p
,
b
)
=
1
→
p
∣
a
）设
a b ∈ Z , p ∣ a b ， ab\in Z,p\mid ab，
a
b
∈
Z
,
p
∣
a
b
，
若
p ∤ a , → a ∉ < p > → < p > ⊊ < p > + < a > p\nmid a,\\\rightarrow a\notin <p>\\\rightarrow <p>\subsetneq <p>+<a>
p
∤
a
,
→
a
∈
/
-
-