一. 简介
点到点的轨迹规划算法可以理解为在规定的时间T内，从已知起始点
运动到末尾点
的方法。这里引入中间变量s(t),它是时间的函数，定义域为[0,T]，值域为[0,1]，s与
的关系见下面公式。这个公式不难理解，当s=0时，
;当s=1时，
。
对t求导是速度，即：
对t求二阶导是加速度，即
所以
由于
和
是已知的，所以速度和加速度随时间的变化取决于
，这里的s(t)有很多种方法，比较常用的是三次函数，五次函数，梯形曲线，S曲线等。这里对这几种曲线的方法和优缺点进行一下介绍。
二. 三次曲线
三次曲线公式为
,
根据起始和终止时刻的约束条件即
这四个约束条件可以分别求出
所以
分别画出
随时间变化的曲线。细心的朋友可以看出在在初始和末了时刻加速度是不连续的，会有冲击，这也是三次曲线的缺点。
三. 五次曲线
五次曲线公式为
根据起始和终止时刻的约束条件即
这六个约束条件可以分别求出
所以
分别画出
随时间变化的曲线。从图中可以看出加速度始末时刻页是连续的，消除了三次曲线始末时刻有冲击的缺点。
四. 梯形曲线
梯形曲线在电机控制中经常用到，因为
的曲线形状为梯形，所以取名为梯形曲线，见下图。
s为分段函数，即
这里的v,a,T是有约束条件的，即
-
当指定v,a则,
，且需要满足
-
当指定v,T则,
，且需要满足
-
当指定a,T则,
，且需要满足
从
曲线中可以看出在
四个时刻加速度不连续，存在冲击，为了改善这个问题有人提出S曲线。
五. S曲线
S曲线见下图，
它的定义为：
第一段：以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0增加到预先设定的a；
第二段：以恒定的加速度加速；
第三段：已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的a减到0；
第四段：以恒定的速度v匀速运动；
第五段：已恒定的负的痉挛J（加速度的导数）使加速度从0减到预先设定的-a；
第六段：以恒定的加速度-a减速；
第七段：以恒定的痉挛J（加速度的导数）使加速度从预先设定的-a增加到0；
在已知最大加速度a, 最大速度v和运行时间T时， 可由以下公式求得s曲线：
和梯形曲线一样， 也是有约束的：
解得：
我也写了Matlab程序，验证了推导是正确的，且程序中如果输入的a,v,T满足上述不等式关系，则可以运算；如果不满足上述不等式关系，通过算法可以自动调整的值，使其得到可用解，这种算法也叫自适应S曲线。
程序代码见下面链接：
https://download.csdn.net/download/fengyu19930920/10639635
例子：
