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质因数

（

素因数

或

质因子

）在数论里是指能整除给定正

整数

的质数。除了1以外，两个没有其他共同质因子的正整数称为

互质

。因为1没有质因子，1与任何正整数（包括1本身）都是互质。正整数的

因数分解

可将正整数表示为一连串的质因子相乘，质因子如重复可以

指数

表示。根据

算术基本定理

，任何正整数皆有独一无二的质因子分解式。

每个

合数

都可以写成几个质数（也可称为

素数

）相乘的形式，这几个质数就都叫做这个合数的质因数。如果一个质数是某个数的

因数

，那么就说这个质数是这个数的

质因数

。而这个因数一定是一个质数。

——摘自百度百科。

值得一提的是质数的素因数是本身，非质数都可表示为几个质数的乘积。

我们为了求解任一整数n的素因数，便可设计一个算法来求解。容易想到的第一个方法便是利用递归的方法进行求解，我们可以定义一个整数i，用i对2到根号n之间的数进行取模，判断是否为零，若为零，则此时的i为一个素因数，之后将n/i作为函数的变量进行递归调用，如此，直到循环完毕。代码如下：

#include<iostream>

#include<cmath>
using namespace std;
void suyinshu(int n);
int main()
{
	int n;
	cout<<"please input a number:";
	cin>>n;
	suyinshu(n);
	return 0;
}
void suyinshu(int n)
{
	int i;
	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			cout<<i<<",";
			suyinshu(n/i);
			return ;
		}
	}
	if(n>1)
	cout<<n;
}

这是用到了递归的思想，如果我们不打算用递归，而仅仅用循环结构来解决，也是有方法的。代码如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
void suyinshu(int n);
int main()
{
	int n;
	cout<<"please input a number:";
	cin>>n;
	suyinshu(n);
	return 0;
}
void suyinshu(int n)
{
	int i;
	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
	{
		if(n%i==0)
		{
			cout<<i<<",";
			n=n/i;
			i=1;
		}
	}
	if(n>1)
		cout<<n;
}

我们可以发现，该方法是用if判断模是否为零，同时令i=1，便是从头再次进行for循环，这样不免过于繁琐，算法复杂度有些大了。我们便可以对该算法进行改进，改进如下：

#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
void suyinshu(int n);
int main()
{
	int n;
	cout<<"please input a number:";
	cin>>n;
	suyinshu(n);
	return 0;
}
void suyinshu(int n)
{
	int i;
	for(i=2;i<=sqrt(double(n));i++)
	{
		while(n%i==0)
		{
			cout<<i<<",";
			n=n/i;
		}
	}
	
	if(n>1)
	cout<<n;
}

可以发现该算法用while代替了if，使得for循环仅仅执行一次便可解决问题，时间复杂度即为o（n），大大加快了运算速度。