双物块弹簧阻尼系统模型：
图1. 双物块弹簧阻尼系统模型
首先向 @Spgroc 表示感谢：
–
我害怕你心碎没人帮你擦眼泪，
别离开我身边，
拥有我，
你的世界才完美。
进入正题:
上面图1：
U
(
t
)
U(t)
U
(
t
)
是扰动输入，可以理解为拽一下小车让它动起来
x
1
(
t
)
x_1(t)
x
1
(
t
)
,
x
2
(
t
)
x_2(t)
x
2
(
t
)
是小车位移，规定向右为正方向
k
1
k_1
k
1
,
k
2
k_2
k
2
是弹簧弹性系数
r
1
r_1
r
1
,
r
2
r_2
r
2
是阻尼系数。阻尼力=阻尼系数 x 速度。
m
1
m_1
m
1
,
m
2
m_2
m
2
是小车质量
{
m
2
x
¨
2
=
−
r
2
x
˙
2
−
k
2
(
x
2
−
x
1
)
m
1
x
¨
1
=
k
2
(
x
2
−
x
1
)
−
r
1
x
˙
1
−
k
1
x
1
(1)
\begin{cases} m_2\ddot{x}_2=-r_2\dot{x}_2-k_2(x_2-x_1)\\ m_1\ddot{x}_1=k_2(x_2-x_1)-r_1\dot{x}_1-k_1x_1 \tag{1} \end{cases}
{
m
2
x
¨
2
=
−
r
2
x
˙
2
−
k
2
(
x
2
−
x
1
)
m
1
x
¨
1
=
k
2
(
x
2
−
x
1
)
−
r
1
x
˙
1
−
k
1
x
1
(
1
)
根据实际的物理过程选取状态变量，令：
{
z
1
=
x
2
z
2
=
x
˙
2
z
3
=
x
1
z
4
=
x
˙
1
(2)
\begin{cases} z_1=x_2 \\ z_2=\dot{x}_2\\ z_3=x_1 \\ z_4=\dot{x}_1\\ \tag{2} \end{cases}
⎩
⎨
⎧
z
1
=
x
2
z
2
=
x
˙
2
z
3
=
x
1
z
4
=
x
˙
1
(
2
)
把公式（2）带入公式（1），得：
{
z
˙
1
=
x
˙
2
=
z
2
z
˙
2
=
x
¨
2
=
1
m
2
(
−
r
2
z
2
−
k
2
(
z
1
−
z
3
)
)
z
˙
3
=
x
˙
1
=
z
4
z
˙
4
=
x
¨
1
=
1
m
1
(
k
2
(
z
1
−
z
3
)
−
r
1
x
1
−
k
1
x
1
)
(3)
\begin{cases} \dot {z}_1=\dot{x}_2=z_2 \\ \dot {z}_2=\ddot{x}_2= \frac{1}{m_2}(-r_2z_2-k_2(z_1-z_3))\\ \dot{z}_3=\dot{x}_1=z_4\\ \dot{z}_4=\ddot{x}_1=\frac{1}{m_1}(k_2(z_1-z_3)-r_1x_1-k_1x_1)\\ \tag{3} \end{cases}
⎩
⎨
⎧
z
˙
1
=
x
˙
2
=
z
2
z
˙
2
=
x
¨
2
=
m
2
1
(
−
r
2
z
2
−
k
2
(
z
1
−
z
3
))
z
˙
3
=
x
˙
1
=
z
4
z
˙
4
=
x
¨
1
=
m
1
1
(
k
2
(
z
1
−
z
3
)
−
r
1
x
1
−
k
1
x
1
)
(
3
)
把公式（3）化成状态空间表达式的形式：
(
z
˙
1
z
˙
2
z
˙
3
z
˙
4
)
=
(
0
1
0
0
−
k
2
m
2
−
r
2
m
2
k
2
m
2
0
0
0
0
1
−
k
2
m
1
0
−
(
k
2
+
k
2
)
m
2
−
r
2
m
1
)
∗
(
z
1
z
2
z
3
z
4
)
(4)
\left( \begin{matrix} \dot {z}_1\\ \dot {z}_2\\ \dot {z}_3\\ \dot {z}_4\\ \end{matrix} \right) =\left( \begin{matrix} 0 & 1 & 0 & 0\\ \frac{-k_2} {m_2}& \frac{-r_2}{m_2}& \frac{k_2}{m_2}& 0\\ 0 & 0& 0 & 1\\ \frac{-k_2} {m_1}& 0 &\frac{-(k_2+k_2)} {m_2} & \frac{-r_2}{m_1}\\ \end{matrix} \right) *\left( \begin{matrix} {z}_1\\ {z}_2\\ {z}_3\\ {z}_4\\ \end{matrix} \right) \tag{4}
⎝
⎛
z
˙
1
z
˙
2
z
˙
3
z
˙
4
⎠
⎞
=
⎝
⎛
0
m
2
−
k
2
0
m
1
−
k
2
1
m
2
−
r
2
0
0
0
m
2
k
2
0
m
2
−
(
k
2
+
k
2
)
0
0
1
m
1
−
r
2
⎠
⎞
∗
⎝
⎛
z
1
z
2
z
3
z
4
⎠
⎞
(
4
)
公式（4）等号右边第一个矩阵称为系统矩阵，对于线性系统而言，可以根据系统矩阵的特征值判断该系统是不是稳定的，当然也可以利用
李雅普诺夫函数
根据能量守恒,构造李雅普诺夫函数V(z)
：
V
(
z
)
=
1
2
m
2
z
2
2
+
1
2
m
1
z
4
2
+
1
2
k
2
(
z
1
−
z
3
)
2
+
1
2
k
1
z
3
2
(5)
V_{(z)}=\frac1{2}m_2z_2^2+\frac1{2}m_1z_4^2+\frac1{2}k_2(z_1-z_3)^2+\frac1{2}k_1z_3^2 \tag{5}
V
(
z
)
=
2
1
m
2
z
2
2
+
2
1
m
1
z
4
2
+
2
1
k
2
(
z
1
−
z
3
)
2
+
2
1
k
1
z
3
2
(
5
)
V
˙
(
z
)
=
1
2
m
2
z
2
∗
z
˙
2
+
1
2
m
1
z
4
∗
z
˙
4
+
1
2
k
2
(
z
1
−
z
3
)
∗
(
z
˙
1
−
z
˙
3
)
+
1
2
k
1
z
3
∗
z
˙
3
(6)
\dot V_{(z)}=\frac1{2}m_2z_2*\dot z_2+\frac1{2}m_1z_4*\dot z_4+\frac1{2}k_2(z_1-z_3)*(\dot z_1-\dot z_3)\\ +\frac1{2}k_1z_3*\dot z_3 \tag{6}
V
˙
(
z
)
=
2
1
m
2
z
2
∗
z
˙
2
+
2
1
m
1
z
4
∗
z
˙
4
+
2
1
k
2
(
z
1
−
z
3
)
∗
(
z
˙
1
−
z
˙
3
)
+
2
1
k
1
z
3
∗
z
˙
3
(
6
)
把公式（4）中的
z
˙
1
\dot z_1
z
˙
1
,
z
˙
2
\dot z_2
z
˙
2
,
z
˙
3
\dot z_3
z
˙
3
,
z
˙
4
\dot z_4
z
˙
4
带入到公式（6）
V
˙
(
x
)
中，经整理得：
\dot V_{(x)}中，经整理得：
V
˙
(
x
)
中，经整理得：
V
˙
(
z
)
=
−
r
2
z
2
2
−
r
1
z
4
2
(7)
\dot V_{(z)}=-r_2z_2^2-r_1z_4^2 \tag{7}
V
˙
(
z
)
=
−
r
2
z
2
2
−
r
1
z
4
2
(
7
)
从公式（5）和（7）可以很容易看出来
V
(
z
)
V_{(z)}
V
(
z
)
是正定的,
V
˙
(
z
)
\dot V_{(z)}
V
˙
(
z
)
是负定的。
故，该系统本身就是一个渐近稳定的系统。
对该系统进行matlab仿真验证渐进稳定性：
clear ;clc;
ma=20;mb=20;ra=20;rb=20;ka=3;kb=2;
X(:,1)=[70;0;50;0];
A=[0 1 0 0;-ka/ma -ra/ma ka/ma 0;0 0 0 1;ka/mb 0 -(ka+kb)/mb -rb/mb];
n=2000;
den=1;
for i=1:n
time(i)=i;
X(:,i+1)=X(:,i)+0.1*A*X(:,i);
end
figure(1);
plot(time,X(1,1:n),'--',time,X(2,1:n),'m',time,X(3,1:n),'--',time,X(4,1:n),'k');
legend('车2的位置','车2的速度','车1的位置','车1的速度');
仿真结果
学艺不精，敬请批评指正。