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随机过程（二）泊松过程

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泊松过程是一类较为简单的时间连续状态离散的随机过程。



1. 定义


计数过程


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不同时间段内增量相互独立——独立增量过程


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不同时间段内增量仅与时间差有关——平稳增量过程


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泊松过程


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由定义可知，泊松过程既是独立增量过程，也是平稳增量过程。

根据这个定义来判断是否是泊松过程，则需要判断是否满足三个条件。条件1容易判断；条件2通常可以通过对过程了解的情况去验证；条件3是较为难检验的。因此给出下面另一个定义。

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简单理解即是，在充分小的时间内，最多有一个事件发生。



2. 基本性质



2.1 数字特征


均值函数


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方差函数


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自相关函数


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协方差函数


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特征函数


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2.2 时间间隔与等待时间的分布

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泊松过程时间间隔序列的分布是指数分布


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该定理的结论是在平稳独立增量过程的假设前提下得到的，改假设的概率意义是指

过程在任意时刻都得从头开始

，即从任何时刻起过程独立于先前已经发生的一切（独立）；且

有与原过程完全一样的分布

（平稳）。


泊松过程等待时间的分布是



Γ

\Gamma






Γ





分布，该分布也叫爱尔兰分布


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2.3 到达时间的条件分布

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证明


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3. 非齐次泊松过程

对泊松过程进行推广，允许时刻t的来到强度（速率）是t的函数。

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非齐次泊松过程的概率分布


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4. 复合泊松过程


定义


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例子


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复合泊松过程的性质


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