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第4课矩阵的LU分解

逆矩阵的一些性质

设A和B都是可逆矩阵

(


A


B





)








−


1









=





B








−


1












A








−


1

















$(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$

(





A








−


1












)








T














A








−


1









=


I












$(A^{-1})^{T}A^{-1}=I$

LU分解

设A是一个可逆矩阵，经过变换后得到最终的上三角矩阵，则称这个最张的矩阵叫作U。经过的这些变换之积的逆记作L，有A=LU。

假如A=










[










2










8
















1










7














]












$\begin{bmatrix} 2&1\\ 8&7 \end{bmatrix}$

把(2,1)处的8消掉












E










21









A


=




[










2
















1




0
















3














]







，








则








E










21









=




[










1










−


4
















0










1














]












$E_{21}A=\begin{bmatrix} 2&1\ 0&3 \end{bmatrix}，则E_{21}=\begin{bmatrix} 1&0\\ -4&1 \end{bmatrix}$

A=LU，即：











[










2










8
















1










7














]




=


L






[










2










0
















1










3














]












$\begin{bmatrix} 2&1\\ 8&7 \end{bmatrix}=L\begin{bmatrix} 2&1\\ 0&3 \end{bmatrix}$
，则可知道








L




=




[










1










4
















0










1














]












$L=\begin{bmatrix} 1&0\\ 4&1 \end{bmatrix}$
（











E










21

















$E_{21}$
的逆矩阵只需要将-4换成4即可)

下面我们考虑一下








3


×


3










$3\times3$
矩阵的情况。

我们先假设A消元的过程中不需要行变换(交换行)，那么先需要消去(2,1)然后是(3,1)，然后是(3,2)。












E










32












E










31