如何计算三维空间中点到平面的投影点坐标

三维空间平面的一般方程为

$Ax+By+Cz+D=0$
(1)

假定不在平面上的三维空间点坐标为
$(x_o,y_o,z_o)$
，其在平面上的投影点坐标为
$(x_p,y_p,z_p)$
。因为投影点到当前点与平面垂直，根据垂直约束条件，易知
$y_p$
与
$z_p$
满足如下条件：

$y_p=\frac{B}{A}(x_p-x_o)+y_o$
(2)

$z_p=\frac{C}{A}(x_p-x_o)+z_o$
(3)

将(2)和(3)代入(1)，可以解得：

$x_p=\frac{(B^2+C^2)x_o-A(By_o+Cz_o+D)}{A^2+B^2+C^2}$
(4)

将(4)代入(2)，(3)，可以解得

$y_p=\frac{(A^2+C^2)y_o-B(Ax_o+Cz_o+D)}{A^2+B^2+C^2}$
(5)

$z_p=\frac{(A^2+B^2)z_o-C(Ax_o+By_o+D)}{A^2+B^2+C^2}$
(6)

由此解得空间三维点到平面的投影坐标
$(x_p,y_p,z_p)$
。