二分图的最大匹配、完美匹配和匈牙利算法
这篇文章讲无权二分图（unweighted bipartite graph）的最大匹配（maximum matching）和完美匹配（perfect matching），以及用于求解匹配的匈牙利
算法
（Hungarian Algorithm）；不讲带权二分图的最佳匹配。
二分图
：简单来说，如果图中点可以被分为两组，并且使得所有边都跨越组的边界，则这就是一个二分图。准确地说：把一个图的顶点划分为两个不相交集
U
和
V
，使得每一条边都分别连接
U
、
V
中的顶点。如果存在这样的划分，则此图为一个二分图。二分图的一个等价定义是：不含有「含奇数条边的环」的图。图 1 是一个二分图。为了清晰，我们以后都把它画成图 2 的形式。
匹配
：在图论中，一个「匹配」（matching）是一个边的集合，其中任意两条边都没有公共顶点。例如，图 3、图 4 中红色的边就是图 2 的匹配。
我们定义
匹配点
、
匹配边
、
未匹配点
、
非匹配边
，它们的含义非常显然。例如图 3 中 1、4、5、7 为匹配点，其他顶点为未匹配点；1-5、4-7为匹配边，其他边为非匹配边。
最大匹配
：一个图所有匹配中，所含匹配边数最多的匹配，称为这个图的最大匹配。图 4 是一个最大匹配，它包含 4 条匹配边。
完美匹配
：如果一个图的某个匹配中，所有的顶点都是匹配点，那么它就是一个完美匹配。图 4 是一个完美匹配。显然，完美匹配一定是最大匹配（完美匹配的任何一个点都已经匹配，添加一条新的匹配边一定会与已有的匹配边冲突）。但并非每个图都存在完美匹配。
举例来说：如下图所示，如果在某一对男孩和女孩之间存在相连的边，就意味着他们彼此喜欢。是否可能让所有男孩和女孩两两配对，使得每对儿都互相喜欢呢？图论中，这就是
完美匹配
问题。如果换一个说法：最多有多少互相喜欢的男孩/女孩可以配对儿？这就是
最大匹配
问题。
基本概念讲完了。求解最大匹配问题的一个算法是
匈牙利算法
，下面讲的概念都为这个算法服务。
交替路
：从一个未匹配点出发，依次经过非匹配边、匹配边、非匹配边…形成的路径叫交替路。
增广路
：从一个未匹配点出发，走交替路，如果途径另一个未匹配点（出发的点不算），则这条交替路称为增广路（agumenting path）。例如，图 5 中的一条增广路如图 6 所示（图中的匹配点均用红色标出）：
增广路有一个重要特点：非匹配边比匹配边多一条。因此，研究增广路的意义是
改进匹配
。只要把增广路中的匹配边和非匹配边的身份交换即可。由于中间的匹配节点不存在其他相连的匹配边，所以这样做不会破坏匹配的性质。交换后，图中的匹配边数目比原来多了 1 条。
我们可以通过不停地找增广路来增加匹配中的匹配边和匹配点。找不到增广路时，达到最大匹配（这是增广路定理）。匈牙利算法正是这么做的。在给出匈牙利算法 DFS 和 BFS 版本的代码之前，先讲一下匈牙利树。
匈牙利树
一般由 BFS 构造（类似于 BFS 树）。从一个未匹配点出发运行 BFS（唯一的限制是，必须走交替路），直到不能再扩展为止。例如，由图 7，可以得到如图 8 的一棵 BFS 树：
这棵树存在一个叶子节点为非匹配点（7 号），但是匈牙利树要求所有叶子节点均为匹配点，因此这不是一棵匈牙利树。如果原图中根本不含 7 号节点，那么从 2 号节点出发就会得到一棵匈牙利树。这种情况如图 9 所示（顺便说一句，图 8 中根节点 2 到非匹配叶子节点 7 显然是一条增广路，沿这条增广路扩充后将得到一个完美匹配）。
下面给出
匈牙利算法
的 DFS 和 BFS 版本的代码：
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// 顶点、边的编号均从 0 开始 // 邻接表储存 struct Edge { int from ; int to ; int weight ; Edge ( int f , int t , int w ) : from ( f ) , to ( t ) , weight ( w ) { } } ; vector < int > G [ __maxNodes ] ; /* G[i] 存储顶点 i 出发的边的编号 */ vector < Edge > edges ; typedef vector < int > :: iterator iterator_t ; int num_nodes ; int num_left ; int num_right ; int num_edges ; |
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int matching [ __maxNodes ] ; /* 存储求解结果 */ int check [ __maxNodes ] ; bool dfs ( int u ) { for ( iterator_t i = G [ u ] . begin ( ) ; i != G [ u ] . end ( ) ; ++ i ) { // 对 u 的每个邻接点 int v = edges [ * i ] . to ; if ( ! check [ v ] ) { // 要求不在交替路中 check [ v ] = true ; // 放入交替路 if ( matching [ v ] == – 1 || dfs ( matching [ v ] ) ) { // 如果是未盖点，说明交替路为增广路，则交换路径，并返回成功 matching [ v ] = u ; matching [ u ] = v ; return true ; } } } return false ; // 不存在增广路，返回失败 } int hungarian ( ) { int ans = 0 ; memset ( matching , – 1 , sizeof ( matching ) ) ; for ( int u = 0 ; u < num_left ; ++ u ) { if ( matching [ u ] == – 1 ) { memset ( check , 0 , sizeof ( check ) ) ; if ( dfs ( u ) ) ++ ans ; } } return ans ; } |
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queue < int > Q ; int prev [ __maxNodes ] ; int Hungarian ( ) { int ans = 0 ; memset ( matching , – 1 , sizeof ( matching ) ) ; memset ( check , – 1 , sizeof ( check ) ) ; for ( int i = 0 ; i < num_left ; ++ i ) { if ( matching [ i ] == – 1 ) { while ( ! Q . empty ( ) ) Q . pop ( ) ; Q . push ( i ) ; prev [ i ] = – 1 ; // 设 i 为路径起点 bool flag = false ; // 尚未找到增广路 while ( ! Q . empty ( ) && ! flag ) { int u = Q . front ( ) ; for ( iterator_t ix = G [ u ] . begin ( ) ; ix != G [ u ] . end ( ) && ! flag ; ++ ix ) { int v = edges [ * ix ] . to ; if ( check [ v ] != i ) { check [ v ] = i ; Q . push ( matching [ v ] ) ; if ( matching [ v ] >= 0 ) { // 此点为匹配点 prev [ matching [ v ] ] = u ; } else { // 找到未匹配点，交替路变为增广路 flag = true ; int d = u , e = v ; while ( d != – 1 ) { int t = matching [ d ] ; matching [ d ] = e ; matching [ e ] = d ; d = prev [ d ] ; e = t ; } } } } Q . pop ( ) ; } if ( matching [ i ] != – 1 ) ++ ans ; } } return ans ; } |
匈牙利算法的要点如下
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从左边第 1 个顶点开始，挑选未匹配点进行搜索，寻找增广路。
- 如果经过一个未匹配点，说明寻找成功。更新路径信息，匹配边数 +1，停止搜索。
- 如果一直没有找到增广路，则不再从这个点开始搜索。事实上，此时搜索后会形成一棵匈牙利树。我们可以永久性地把它从图中删去，而不影响结果。
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由于找到增广路之后需要沿着路径更新匹配，所以我们需要一个结构来记录路径上的点。DFS 版本通过函数调用隐式地使用一个栈，而 BFS 版本使用
prev
数组。
性能比较
两个版本的时间复杂度均为
O
(
V
⋅
E
)
。DFS 的优点是思路清晰、代码量少，但是性能不如 BFS。我
测试
了两种算法的性能。对于稀疏图，BFS 版本明显快于 DFS 版本；而对于稠密图两者则不相上下。在完全随机数据 9000 个顶点 4,0000 条边时前者领先后者大约 97.6%，9000 个顶点 100,0000 条边时前者领先后者 8.6%, 而达到 500,0000 条边时 BFS 仅领先 0.85%。
补充定义和定理：
最大匹配数
：最大匹配的匹配边的数目
最小点覆盖数
：选取最少的点，使任意一条边至少有一个端点被选择
最大独立数
：选取最多的点，使任意所选两点均不相连
最小路径覆盖数
：对于一个 DAG（有向无环图），选取最少条路径，使得每个顶点属于且仅属于一条路径。路径长可以为 0（即单个点）。
定理1：最大匹配数 = 最小点覆盖数（这是 Konig 定理）
定理2：最大匹配数 = 最大独立数
定理3：最小路径覆盖数 = 顶点数 – 最大匹配数