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概念

单调队列是一个满足内部单调递增或单调递减的数据结构。

实质

单调队列是一个 双端队列。

特点

• 从队尾入列，队首或队尾出列。
• 队列中元素大小必须是 单调 的。
• 队列中的元素对应在原来列表中的顺序必须是 单调递增 的。

作用

维护区间最值或降低  维数来达到减少空间及时间的目的。

例题

洛谷P1886

第一思路暴力，两个   循环就搞定了，但这样的算法时间复杂度为 ，肯定会超时。所以要优化，这就用上了单调队列。

以求最大值为例（最小值同理），我们可以这样维护队列的值：

• 维护队首：如果队首元素下标在当前下标的  个之前，弹出队首。
• 维护队尾：比较当前元素与队尾元素的大小，若当前元素更优，弹出队尾元素，直到可以满足队列单调性后加入当前元素。因为如果对于两个元素   ,   且 ，那么窗口在右端滑到  之后， 再也不可能成为最大值。 

对于这道题，我们模拟窗口右移的过程，每右移一个单位，就将若干个元素踢出 队首或队尾 ，并将新的元素加入 队尾。

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
using namespace std;
int n,k,f[1000100];
int w[1000100],v[1000100];
void get_max()//维护最大值
{
		printf("\n");
		memset(w,0,sizeof(w));
		memset(v,0,sizeof(v));
		int head=1,tail=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			while(head<=tail&&w[tail]<f[i]) tail--;
			w[++tail]=f[i];//储存值
			v[tail]=i;//储存位置
			while(v[head]<=i-k&&head<tail) head++;
			if(i>=k) printf("%d ",w[head]);
		}
}
void get_min()//维护最小值
{
		int head=1,tail=0;
		for(int i=1;i<=n;i++){
			while(head<=tail&&w[tail]>f[i]) tail--;
			w[++tail]=f[i];
			v[tail]=i;
			while(v[head]<=i-k&&head<tail) head++;
			if(i>=k) printf("%d ",w[head]);
		}
}
int main()
{
		scanf("%d%d",&n,&k);
		for(int i=1;i<=n;i++)
		scanf("%d",&f[i]);
		get_min();
		get_max();
		return 0;//撒花
}

是不是很简单 

 那么进入下一个话题：

单调队列优化DP

在讲之前，先普及一下知识：

1D动态规划

指的是状态数为 ，每一个状态决策量为  的动态规划方程，这样的方程直接暴力求解的时间复杂度为  。（基本会 ）

这里只讲单调队列优化1D动态规划：

在1D动态规划中，有一种 ，转移方程一般为：

dp[i]=min(dp[i],dp[j]+f[i][j])

其中  , 与  的序列单调不减。  也可以写成 ，方法是一样的。

这种  可以用单调队列分  步进行优化：

• 将所有小于  的  全部踢队。
• 用队首  为  赋值，队首  要变化。
• 将新元素  加入队尾 ，队尾  也要变化。
• 维护单调队列。

基本内容就是这些，其实动脑推出  方程式就行了。说得简单