前言
实际野外采集到的信号都是有一定时间间隔的，因为本文主要关注于”离散傅里叶变换(DFT)”。另外，本文主要关注的是”如何使用”DFT这样一个工具(公式的使用+程序编写)，并非介绍其背后的原理。最后，本文将自己编写的程序与Matlab自带的相关语句的结果做对比，验证方法与程序的正确性。
DFT相关公式及使用
我们假设原始时域信号为x(n)，经DFT后频域信号为X(k)，其中n是采样点的序号，k是对应到频率域中的频率值，N是采样点总数。傅里叶正变换公式为：
公式1：DFT原始公式
注意1：在等号右边的最后一项
中，nk乘积是
的幂指数！
注意2：
是一个常数！其公式为：
公式1怎么用？先把它展开看看：
公式2：把公式1展开成多项来看
公式2看上去还是不够直观，我们再把它用矩阵表示成：
公式3：公式2的矩阵形式
是不是清晰多了呢？
已经知道
是一个常数！
那公式3″等号右边第一项”可进一步简化：
公式4：对公式3中右边第一项的简化
到此，DFT公式可变为：
这样的矩阵相乘。
有了上面的公式的基础，我们可以手写Matlab程序：
data = [2 3 8 9 12 4 8 10]; % 原始离散时域信号
N = length(data);
% DFT需要的相关矩阵:
WN = exp(-i*2*pi/N); % 常数
WN_nk = zeros(N)+WN; % WN_kn矩阵(初始)
xk = data’; % 时域信号振幅(列矩阵)
E = zeros(N); % 辅助的E(WN_kn的幂,单独拿出来算)
%%% 傅里叶正变换即结果 %%%
for row = 0:N-1
for cow = 0:N-1
E(row+1,cow+1) = row*cow;
WN_nk(row+1,cow+1) = WN_nk(row+1,cow+1)^E(row+1,cow+1);
end
end
Xk = WN_nk * xk; % 频域结果
fft(data); % Matlab自带语句,两者结果对比一样
IDFT相关公式及使用
很DFT的公式非常相似，只不过多了负号：
公式5：IDFT原始公式
将公式转换成矩阵，再写出矩阵E和对应的
即可。最后不要忘记除以总采样点数N。
对应的手写Matlab程序为：
% 继DFT代码后跟着写
% IDFT需要的相关矩阵：
WN_nk_n = zeros(N)+WN; % WN_kn矩阵(初始)
E_n = zeros(N); % 辅助的E(WN_kn的幂,单独拿出来算)
for row = 0:N-1
for cow = 0:N-1
E_n(row+1,cow+1) = -row*cow; % 注意负号
WN_nk_n(row+1,cow+1) = WN_nk_n(row+1,cow+1)^E_n(row+1,cow+1);
end
end
xk_n = real((WN_nk_n * Xk)/N)’ % IDFT手写结果
ifft(Xk) % Matlab自带语句，上下俩结果对比一样。
更多完整程序与相关实例程序参考：傅里叶变换程序及实例.
补充说明：
频率域的优越性：时间域信号虽然可以反映原始信号不少的信息，但是这种图像不易修改！因为地球物理野外接收到的信号，不论是有效信号还是特定噪声，它们都各有自己所属的频带宽度！也就是说有效信号与噪声它们在频率域是很好识别和区分开来的！虽然频率信息也能少量反应在时域图像中(图像的紧密或舒张程度)，但是要想从时域图像中将二者分离开来是非常非常困难的！这也体现出频域的优越性。不只是信号提取与消除，频率域或者类频率域(后面的小波域、τp域等)还能做很多更高级的操作，这些都是时域图像所不能进行的。总结之：时域信号好采集不好处理，频域信号好处理但直接采集不了。