基础概念

布尔代数是一种计算符号语言的逻辑推理系统，而逻辑代数被称之为二值布尔代数，或者说是开关代数。

逻辑变量是用来表示事物的逻辑状态变化而变化的量，取值只有0和1；逻辑电平是物理中的离散量，分为高电平和低电平。

逻辑规定由正逻辑和负逻辑两种，我们一般使用的是正逻辑。也就是1表示高电平，0表示低电平。

逻辑代数是一个集合，包含逻辑变量集，常量0和1，非、与、或三种逻辑运算。

逻辑函数的表示法

逻辑函数的表示法有：

• 真值表
• 逻辑表达式
• 卡诺图
• 时间图(信号波形图)

逻辑代数的基本定理及规则

各种基本运算以及布尔代数的基本公理参见书本以及PPT相关资料。该公理是可以被证明的，使用的方法便是真值表。

逻辑代数的基本定理

逻辑代数的基本定理是应用划归逻辑表达式的关键。

吸收律

• A + AB = A
• A + !AB = A + B
• AB + A!B = A
• (A + B)(A + !B) = A

反演律

• !(A + B) = !A !B
• !(AB) = !A + !B

包含律(多余项定理)

• AB + !AC + BC = AB + !AC
• (A + B)(!A + C)(B + C) = (A + B)(!A + C)

逻辑代数的基本规则P23

代入规则

注意，N变量摩根定理可以通过代入规则来证明。

反演规则

对偶规则

逻辑函数的性质

关于复合逻辑的各种表述以及使用的符号详情参见课本或者是PPT中内容。

特别注意的是同或逻辑中存在着循环的调换律。而且一个逻辑函数的表达形式不唯一。因为与或非中与非、或非均为最小完备组。

最小项与最大项

最小项与最大项是重点内容，注意其下标的不同表示。其中最小项的表示中1代表原变量，0代替其中的反变量，从而构成一个m值；与此相反，最大项的表示中0代表原变量，1代替反变量，从而构成一个M值。

注意最小项和最大项的代号下角标是一致的。

重要性质

• 对于任意最小项，只有一组变量组合取值可使其为1；对于任意最大项，只有一组变量组合可使其为0.
• n变量的所有最小项之和必为1，n变量所有最大项之积必为0；
• 任意两个最小项之积必为0；任意两个最大项之和必为1
• 同变量数下表相同的最小项和最大项互为反函数。

函数的最小项和最大项标准式

标准式就是使用m和M的和和积来进行表示。

另外，两次取反就可以实现函数最小项标准式和最大项标准式之间的转换。

逻辑函数的化简

逻辑函数化简追求的目标是

– 最简逻辑电路: 门数最少、门的输入端最少、门的级数最少

– 最简与或式: 与项的项数最少、每个与项的变量个数最少

– 最简或与式：或项的数目最少、每个或项的变量个数最少

关于逻辑函数的化简方法使用的技巧可以参看逻辑函数的运算规则。

通过逻辑函数的运算规则来进行的逻辑函数的化简方式明显造成的问题就是太富于技巧性，同时当逻辑函数的元数大于等于4时，化简的难度很高，就算是可以有效地化出，计算成本也太高。

后续的学习中，使用的基本上是用卡诺图来求最简与或式或者是最简或与式的逻辑函数。

卡诺图

卡诺图是数字逻辑中的重中之重。其相关的多变量的变量位置参见书本内容。

逻辑函数在卡诺图上的表示

• 把给定的逻辑函数化为最小项标准式
• 按变量数化出对应卡诺图
• 在对应于最小项标准式中各最小项的小方格内标以1
• 所有标有1的小方格合成区域就表示该函数 P82