前言
给定一个向量组，如果要是向量组中的向量两两正交，则需要对向量组做施密特正交化。
解释
假设向量组为
(
α
1
.
α
2
,
.
.
.
.
.
α
n
)
(α_1.α_2,…..α_n)
(
α
1
.
α
2
,
.
.
.
.
.
α
n
)
，那就一步一步来做：
第一步，确定基准
以
α
1
α_1
α
1
为基准，也就是
β
1
=
α
1
β_1 = α_1
β
1
=
α
1
第二步，消除α_2在α_1上的分量，使得两者正交
（确定方向）：首先求
α
1
α_1
α
1
这个方向的单位向量，为
α
1
/
∣
∣
α
1
∣
∣
α_1/||α_1||
α
1
/
∣
∣
α
1
∣
∣
（确定长度）：再求
α
2
α_2
α
2
在
α
1
α_1
α
1
上面的投影:
c
o
s
(
θ
)
=
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
∣
∣
α
1
∣
∣
cos(θ) = (α_1,α_2)/||α_1||||α_1||
c
o
s
(
θ
)
=
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
∣
∣
α
1
∣
∣
所以，
∣
∣
α
2
∣
∣
c
o
s
(
θ
)
=
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
||α_2||cos(θ)=(α_1,α_2)/||α_1||
∣
∣
α
2
∣
∣
c
o
s
(
θ
)
=
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
（计算分量）：投影乘上方向上的单位向量，就得到了
α
2
α_2
α
2
在
α
1
α_1
α
1
方向上的分量，为
[
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
]
∗
[
α
1
/
∣
∣
α
1
∣
∣
]
=
(
α
1
,
α
2
)
/
(
α
1
,
α
2
)
∗
α
1
[(α_1,α_2)/||α_1||] * [ α_1/||α_1||] =(α_1,α_2) / (α_1,α_2) * α_1
[
(
α
1
,
α
2
)
/
∣
∣
α
1
∣
∣
]
∗
[
α
1
/
∣
∣
α
1
∣
∣
]
=
(
α
1
,
α
2
)
/
(
α
1
,
α
2
)
∗
α
1
。其中，
α
1
=
β
1
α_1 = β_1
α
1
=
β
1
，(,)表示内积。
第三步，消除α_3在α_2和α_1上的分量
…以此类推