节点集合V = {}空集合,距离初始化。
节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。
距离数组
起点 d[s] = 0
其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n, i ≠ s。
找到节点i 不属于 V,且d[i]值最小的节点i。
V = V + i
对所有满足j V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i, j))。
初始,求A点到其他点的最短路径(也称单源最短路径)。
{1 F} | {16 E} | {17 B}
处理F点,F点有4条边。FA(1),FB(11),FD(14),FE(33)。其中FA已经处理过,所以忽略掉。
{12 B} | {15 D} | {16 E} | {17 B} | {34 E}
处理B点,B点有4条边。AB(17),BF(11),BC(6),BD(5)。其中AB,BF已经处理过,所以忽略掉。
将2条的权值加上A到B的最短路径12,加入优先队列。此时队列中的元素为:
{15 D} | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}
取出队列中最小的元素,{15 D},D点是一个未处理过的点,因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离,变为:
处理D点,D点有4条边。其中DC(10),DE(4)没有处理过。
将2条的权值加上A到D的最短路径15,加入优先队列。此时队列中的元素为:
{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}
取出队列中最小的元素,{16 E},E点是一个未处理过的点,因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离,变为:
处理E点,E点所连接的边都已经被处理过了。
{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}
取出队列中最小的元素,{17 B},B点是一个已经处理过的点,因此继续后面的处理。
取出队列中最小的元素,{18 C},C点是一个未处理过的点,因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离,变为:
i V, d[i] = min{d[x] + w(x, i), x V}
我们证明节点i要进入集合V时,d[i]确实是s到i的最短路长度 。
归纳证明: 起初 d[s] = 0满足条件。
其中s..x全部在V中, y V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。
而且因为dijkstra选择最小的d加入,所以有d[y] ≥ d[i] 。
于是有路径P的长度, length(P) ≥ d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] + length(y..i) ≥ d[y] ≥ d[i]。
从而d[i]也是最短路的长度。得证。
你来到一个迷宫前。该迷宫由若干个房间组成,每个房间都有一个得分,第一次进入这个房间,你就可以得到这个分数。还有若干双向道路连结这些房间,你沿着这些道路从一个房间走到另外一个房间需要一些时间。游戏规定了你的起点和终点房间,你首要目标是从起点尽快到达终点,在满足首要目标的前提下,使得你的得分总和尽可能大。现在问题来了,给定房间、道路、分数、起点和终点等全部信息,你能计算在尽快离开迷宫的前提下,你的最大得分是多少么?
最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个
算法
,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。
输入
第一行4个整数n (<=500), m, start, end。n表示房间的个数,房间编号从0到(n - 1),m表示道路数,任意两个房间之间最多只有一条道路,start和end表示起点和终点房间的编号。 第二行包含n个空格分隔的正整数(不超过600),表示进入每个房间你的得分。 再接下来m行,每行3个空格分隔的整数x, y, z (0<z<=200)表示道路,表示从房间x到房间y(双向)的道路,注意,最多只有一条道路连结两个房间, 你需要的时间为z。 输入保证从start到end至少有一条路径。
输出
一行,两个空格分隔的整数,第一个表示你最少需要的时间,第二个表示你在最少时间前提下可以获得的最大得分。
输入示例
3 2 0 2 1 2 3 0 1 10 1 2 11
输出示例
21 6
代码:
#include<iostream>
#include<cmath>
using namespace std;
int map[505][505];
int vis[505],val[505],dis[505],sum[505];
const int inf=999999;
int main()
{
int n,m,s,e;
cin>>n>>m>>s>>e;
int i,j;
for(i=0;i<n;i++)
cin>>val[i];
for(i=0;i<n;i++)
for(j=0;j<n;j++)
{
if(i==j)
map[i][j]=0;
else
map[i][j]=inf;
}
int x,y,z;
for(i=0;i<m;i++)
{
cin>>x>>y>>z;
map[x][y]=z;
map[y][x]=z;
}
for(i=0;i<n;i++)
{
vis[i]=0;
dis[i]=inf;
sum[i]=0;
}
dis[s]=0;
sum[s]=val[s];
int min,v;
for(i=0;i<n;i++)
{
min=inf;
v=0;
for(j=0;j<n;j++)
{
if(vis[j]==0)
{
if(min>dis[j])
{
min=dis[j];
v=j;
}
}
}
vis[v]=1;
for(j=0;j<n;j++)
{
if(vis[j]==0)
{
if(dis[j]>dis[v]+map[v][j])
{
dis[j]=dis[v]+map[v][j];
sum[j]=sum[v]+val[j];
}
else if(dis[j]==dis[v]+map[v][j])
sum[j]=max(sum[v]+val[j],sum[j]);
}
}
}
cout<<dis[e]<<” “<<sum[e]<<endl;
return 0;
}