离散数学课本上的最短路径算法

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Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法,也是一个经典的贪心算法。所谓单源图 是规定一个起点的图,我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向(或者有向图),所有边权都是非负数。

算法描述:

节点集合V = {}空集合,距离初始化。

节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。


距离数组

起点 d[s] = 0

其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n,  i ≠ s。
循环n次

找到节点i 不属于 V,且d[i]值最小的节点i。

V = V + i

对所有满足j  V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i,  j))。

以下图为例,描述Dijkstra算法的运行过程:


初始,求A点到其他点的最短路径(也称单源最短路径)。

初始化A点

A点有3条边,AB(17),AE(16),AF(1)。

将3条边加入优先队列,此时队列中的元素为(只记录目标点):

{1 F} | {16 E} | {17 B}

取出队列中最小的元素,{1 F},F点是一个未处理过的点,因此得到了A点到F点的最短距离。更新距离,变为:


处理F点,F点有4条边。FA(1),FB(11),FD(14),FE(33)。其中FA已经处理过,所以忽略掉。


将3条边加入优先队列,注意,此时加入队列时,所有边的权值需要加上F点到A点的最短距离1。此时队列中的元素为:

{12 B} | {15 D}  | {16 E} | {17 B} | {34 E}

取出队列中最小的元素,{12 B},B点是一个未处理过的点,因此得到了A点到B点的最短距离。更新距离,变为:


处理B点,B点有4条边。AB(17),BF(11),BC(6),BD(5)。其中AB,BF已经处理过,所以忽略掉。







将2条的权值加上A到B的最短路径12,加入优先队列。此时队列中的元素为:








{15 D}  | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}








取出队列中最小的元素,{15 D},D点是一个未处理过的点,因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离,变为:







处理D点,D点有4条边。其中DC(10),DE(4)没有处理过。







将2条的权值加上A到D的最短路径15,加入优先队列。此时队列中的元素为:






{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}






取出队列中最小的元素,{16 E},E点是一个未处理过的点,因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离,变为:


处理E点,E点所连接的边都已经被处理过了。



此时优先队列中的元素为:

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素,{17 B},B点是一个已经处理过的点,因此继续后面的处理。

{17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}
取出队列中最小的元素,{17 D},D点是一个已经处理过的点,因此继续后面的处理。
{18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素,{18 C},C点是一个未处理过的点,因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离,变为:

Dijkstra算法的证明:

i  V,  d[i] = min{d[x] + w(x, i), x  V}

我们证明节点i要进入集合V时,d[i]确实是s到i的最短路长度 。

归纳证明: 起初 d[s] = 0满足条件。

假设之前集合V中的点全部满足假设,现在要加入节点i   V,假设任意从s到i的路径P= s…x y…i。

其中s..x全部在V中, y  V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。
根据d的定义,我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。

而且因为dijkstra选择最小的d加入,所以有d[y] ≥ d[i] 。

于是有路径P的长度, length(P) ≥  d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] + length(y..i)  ≥  d[y] ≥ d[i]。

从而d[i]也是最短路的长度。得证。
例题:


你来到一个迷宫前。该迷宫由若干个房间组成,每个房间都有一个得分,第一次进入这个房间,你就可以得到这个分数。还有若干双向道路连结这些房间,你沿着这些道路从一个房间走到另外一个房间需要一些时间。游戏规定了你的起点和终点房间,你首要目标是从起点尽快到达终点,在满足首要目标的前提下,使得你的得分总和尽可能大。现在问题来了,给定房间、道路、分数、起点和终点等全部信息,你能计算在尽快离开迷宫的前提下,你的最大得分是多少么?





最后,我们来提供输入输出数据,由你来写一段程序,实现这个

算法

,只有写出了正确的程序,才能继续后面的课程。


输入

第一行4个整数n (<=500), m, start, end。n表示房间的个数,房间编号从0到(n - 1),m表示道路数,任意两个房间之间最多只有一条道路,start和end表示起点和终点房间的编号。
第二行包含n个空格分隔的正整数(不超过600),表示进入每个房间你的得分。
再接下来m行,每行3个空格分隔的整数x, y, z (0<z<=200)表示道路,表示从房间x到房间y(双向)的道路,注意,最多只有一条道路连结两个房间, 你需要的时间为z。
输入保证从start到end至少有一条路径。


输出
一行,两个空格分隔的整数,第一个表示你最少需要的时间,第二个表示你在最少时间前提下可以获得的最大得分。


输入示例

3 2 0 2
1 2 3
0 1 10
1 2 11



输出示例

21 6

代码:

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

int map[505][505];

int vis[505],val[505],dis[505],sum[505];

const int inf=999999;

int main()

{


int n,m,s,e;

cin>>n>>m>>s>>e;

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

cin>>val[i];

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

{


if(i==j)

map[i][j]=0;

else

map[i][j]=inf;

}

int x,y,z;

for(i=0;i<m;i++)

{


cin>>x>>y>>z;

map[x][y]=z;

map[y][x]=z;

}

for(i=0;i<n;i++)

{


vis[i]=0;

dis[i]=inf;

sum[i]=0;

}

dis[s]=0;

sum[s]=val[s];

int min,v;

for(i=0;i<n;i++)

{


min=inf;

v=0;

for(j=0;j<n;j++)

{


if(vis[j]==0)

{


if(min>dis[j])

{


min=dis[j];

v=j;

}

}

}

vis[v]=1;

for(j=0;j<n;j++)

{


if(vis[j]==0)

{


if(dis[j]>dis[v]+map[v][j])

{


dis[j]=dis[v]+map[v][j];

sum[j]=sum[v]+val[j];

}

else if(dis[j]==dis[v]+map[v][j])

sum[j]=max(sum[v]+val[j],sum[j]);

}

}

}

cout<<dis[e]<<” “<<sum[e]<<endl;

return 0;

}