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离散数学课本上的最短路径算法

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Dijkstra算法是一个经典的算法——他是荷兰计算机科学家Dijkstra于1959年提出的单源图最短路径算法，也是一个经典的贪心算法。所谓单源图 是规定一个起点的图，我们的最短路径都是从这个起点出发计算的。算法的适用范围是一个无向（或者有向图），所有边权都是非负数。

算法描述：

节点集合V = {}空集合，距离初始化。

节点编号0..n – 1, 起点编号0≤ s < n。


距离数组

起点 d[s] = 0

其他 d[i] = ∞, 0 ≤ i < n,  i ≠ s。
循环n次

找到节点i 不属于 V，且d[i]值最小的节点i。

V = V + i

对所有满足j  V的边(i, j) 更新d[j] = min(d[j] , d[i] + w(i,  j))。

以下图为例，描述Dijkstra算法的运行过程：


初始，求A点到其他点的最短路径（也称单源最短路径）。

初始化A点

A点有3条边，AB（17），AE（16），AF（1）。

将3条边加入优先队列，此时队列中的元素为（只记录目标点）：

{1 F} | {16 E} | {17 B}

取出队列中最小的元素，{1 F}，F点是一个未处理过的点，因此得到了A点到F点的最短距离。更新距离，变为：


处理F点，F点有4条边。FA（1），FB（11），FD（14），FE（33）。其中FA已经处理过，所以忽略掉。


将3条边加入优先队列，注意，此时加入队列时，所有边的权值需要加上F点到A点的最短距离1。此时队列中的元素为：

{12 B} | {15 D}  | {16 E} | {17 B} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{12 B}，B点是一个未处理过的点，因此得到了A点到B点的最短距离。更新距离，变为：


处理B点，B点有4条边。AB（17），BF（11），BC（6），BD（5）。其中AB，BF已经处理过，所以忽略掉。







将2条的权值加上A到B的最短路径12，加入优先队列。此时队列中的元素为：








{15 D}  | {16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {34 E}








取出队列中最小的元素，{15 D}，D点是一个未处理过的点，因此得到了A点到D点的最短距离。更新距离，变为：







处理D点，D点有4条边。其中DC（10），DE（4）没有处理过。







将2条的权值加上A到D的最短路径15，加入优先队列。此时队列中的元素为：






{16 E} | {17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}






取出队列中最小的元素，{16 E}，E点是一个未处理过的点，因此得到了A点到E点的最短距离。更新距离，变为：


处理E点，E点所连接的边都已经被处理过了。



此时优先队列中的元素为：

{17 B} | {17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{17 B}，B点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。

{17 D} | {18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}
取出队列中最小的元素，{17 D}，D点是一个已经处理过的点，因此继续后面的处理。
{18 C} | {19 E} | {25 C} | {34 E}

取出队列中最小的元素，{18 C}，C点是一个未处理过的点，因此得到了A点到C点的最短距离。更新距离，变为：

Dijkstra算法的证明：

i  V,  d[i] = min{d[x] + w(x, i), x  V}

我们证明节点i要进入集合V时，d[i]确实是s到i的最短路长度 。

归纳证明： 起初 d[s] = 0满足条件。

假设之前集合V中的点全部满足假设，现在要加入节点i   V，假设任意从s到i的路径P＝ s…x y…i。

其中s..x全部在V中, y  V。根据归纳假设d[x]是s到x的最短路长度。
根据d的定义，我们有d[x] + w(x,y) ≥ d[y]。

而且因为dijkstra选择最小的d加入，所以有d[y] ≥ d[i] 。

于是有路径P的长度， length(P) ≥  d[x] + w(x, y) + length(y..i) ≥ d[y] ＋ length(y..i)  ≥  d[y] ≥ d[i]。

从而d[i]也是最短路的长度。得证。
例题：


你来到一个迷宫前。该迷宫由若干个房间组成，每个房间都有一个得分，第一次进入这个房间，你就可以得到这个分数。还有若干双向道路连结这些房间，你沿着这些道路从一个房间走到另外一个房间需要一些时间。游戏规定了你的起点和终点房间，你首要目标是从起点尽快到达终点，在满足首要目标的前提下，使得你的得分总和尽可能大。现在问题来了，给定房间、道路、分数、起点和终点等全部信息，你能计算在尽快离开迷宫的前提下，你的最大得分是多少么？





最后，我们来提供输入输出数据，由你来写一段程序，实现这个

算法

，只有写出了正确的程序，才能继续后面的课程。


输入
 

第一行4个整数n (<=500), m, start, end。n表示房间的个数，房间编号从0到(n - 1)，m表示道路数,任意两个房间之间最多只有一条道路，start和end表示起点和终点房间的编号。
第二行包含n个空格分隔的正整数(不超过600)，表示进入每个房间你的得分。
再接下来m行，每行3个空格分隔的整数x, y, z (0<z<=200)表示道路,表示从房间x到房间y(双向)的道路,注意，最多只有一条道路连结两个房间, 你需要的时间为z。
输入保证从start到end至少有一条路径。


输出
 
一行，两个空格分隔的整数，第一个表示你最少需要的时间，第二个表示你在最少时间前提下可以获得的最大得分。


输入示例
 

3 2 0 2
1 2 3
0 1 10
1 2 11



输出示例
 

21 6

代码：

#include<iostream>

#include<cmath>

using namespace std;

int map[505][505];

int vis[505],val[505],dis[505],sum[505];

const int inf=999999;

int main()

{


int n,m,s,e;

cin>>n>>m>>s>>e;

int i,j;

for(i=0;i<n;i++)

cin>>val[i];

for(i=0;i<n;i++)

for(j=0;j<n;j++)

{


if(i==j)

map[i][j]=0;

else

map[i][j]=inf;

}

int x,y,z;

for(i=0;i<m;i++)

{


cin>>x>>y>>z;

map[x][y]=z;

map[y][x]=z;

}

for(i=0;i<n;i++)

{


vis[i]=0;

dis[i]=inf;

sum[i]=0;

}

dis[s]=0;

sum[s]=val[s];

int min,v;

for(i=0;i<n;i++)

{


min=inf;

v=0;

for(j=0;j<n;j++)

{


if(vis[j]==0)

{


if(min>dis[j])

{


min=dis[j];

v=j;

}

}

}

vis[v]=1;

for(j=0;j<n;j++)

{


if(vis[j]==0)

{


if(dis[j]>dis[v]+map[v][j])

{


dis[j]=dis[v]+map[v][j];

sum[j]=sum[v]+val[j];

}

else if(dis[j]==dis[v]+map[v][j])

sum[j]=max(sum[v]+val[j],sum[j]);

}

}

}

cout<<dis[e]<<” “<<sum[e]<<endl;

return 0;

}