昨天
Rocket101
孟美岐 发歌了，刚刚看到，犹豫了一会磕不磕。最后含是氪了一发，唱的含行，可惜旋律一般好听，没有加入歌单。
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用莫比乌斯带巧解内接矩形问题：拓扑学的用处。——3Blue1Brown
以下图片部分来自视频。
问题描述
在一个平面上，有一个首尾相接的、与自身无交点的曲线，求证：在这个曲线上，至少存在一组点
A
,
B
,
C
,
D
A,B,C,D
A
,
B
,
C
,
D
，使四边形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
是矩形。
感悟
视频用拓扑学的知识感性地证明了命题，最好全神贯注且耐心地观看一次。
下面是笔者的复述。
复述过程
证明：
以该曲线所在平面作为
X
−
Y
X-Y
X
−
Y
面，建立空间直角坐标系
X
−
Y
−
Z
X-Y-Z
X
−
Y
−
Z
。
设曲线上有两点
X
(
a
,
b
,
0
)
,
Y
(
c
,
d
,
0
)
X(a,b,0),\ Y(c,d,0)
X
(
a
,
b
,
0
)
,
Y
(
c
,
d
,
0
)
。
定义函数
f
(
X
,
Y
)
=
(
a
+
c
2
,
b
+
d
2
,
(
a
−
b
)
2
+
(
c
−
d
)
2
)
f(X,Y)=(\frac{a+c}{2},\frac{b+d}{2},\sqrt{(a-b)^2+(c-d)^2})
f
(
X
,
Y
)
=
(
2
a
+
c
,
2
b
+
d
,
(
a
−
b
)
2
+
(
c
−
d
)
2
)
换句话说，设
M
M
M
是线段
X
Y
XY
X
Y
的中点，线段
X
Y
XY
X
Y
的长度为
d
i
s
dis
d
i
s
，则
f
(
X
,
Y
)
f(X,Y)
f
(
X
,
Y
)
是在点
M
M
M
正上方
d
i
s
dis
d
i
s
长度的点。如下图所示。
对于
∀
{
X
,
Y
}
\forall \{X,Y\}
∀
{
X
,
Y
}
，它们的
f
f
f
点在坐标系中形成了一个曲面。
设矩形
A
B
C
D
ABCD
A
B
C
D
对角线
A
C
AC
A
C
与
B
D
BD
B
D
的交点为
O
O
O
，则
A
O
=
O
B
,
C
O
=
O
D
AO=OB,CO=OD
A
O
=
O
B
,
C
O
=
O
D
。不难得到，若一点
M
M
M
既是线段
X
1
Y
1
X_1Y_1
X
1
Y
1
的中点，也是线段
X
2
Y
2
X_2Y_2
X
2
Y
2
的中点，且
X
1
Y
1
=
X
2
Y
2
X_1Y_1=X_2Y_2
X
1
Y
1
=
X
2
Y
2
，则
X
1
,
Y
1
,
X
2
,
Y
2
X_1,Y_1,X_2,Y_2
X
1
,
Y
1
,
X
2
,
Y
2
四个点一定能围成一个矩形。
此时
f
(
X
1
,
Y
1
)
=
f
(
X
2
,
Y
2
)
f(X_1,Y_1)=f(X_2,Y_2)
f
(
X
1
,
Y
1
)
=
f
(
X
2
,
Y
2
)
，所以问题转化为：证明
f
f
f
围成的曲面
自交
（此处的自交指的是，自己与自己有交点，也就是有重合的点）。
那这个东西怎么证呢？
考虑在这个曲线上选定一点，并沿这个点将曲线剪开，再拉直成一条线段。这样，曲线上的点就与这条线段上的点一一对应了。
不妨设这条线段的长为
1
1
1
，并以其一端点为原点，线段方向为坐标轴正方向，建立平面直角坐标系。如下图所示。
我们不妨加上两条边，让它们与坐标轴围成一个边长为
1
1
1
的正方形。
不难发现，对于
∀
p
∈
[
0
,
1
]
\forall p\in[0,1]
∀
p
∈
[
0
,
1
]
此坐标系上的点
P
(
0
,
p
)
P(0,p)
P
(
0
,
p
)
和
P
(
1
,
p
)
P(1,p)
P
(
1
,
p
)
，它们在曲线上对应的点是重合的。
换句话说，它们表示的曲线上的点是等价的。
同理，上下两条边上对应点表示的曲线上的点也是对应等价的。
那我们就可以把这个正方形卷起来，使左右边重合。这样就卷成一个无盖圆柱。
同理，如果我们再把上下两边卷起来，就得到一个形如
的环面。（没错，就是看到这里我投了两个币）
仔细观察那个边长为
1
1
1
的正方形。我们发现：将
(
0
,
0
)
(0,0)
(
0
,
0
)
和
(
1
,
1
)
(1,1)
(
1
,
1
)
连成线段，这个正方形上所有的点关于这条线段对称。如下图所示。
我们不妨沿这条对角线折叠，得到一个三角形。这样，
除切割点外，曲面上的每一个点在这个三角形上出现且仅出现一次
。
再次尝试将这个三角形拼接。请读者自己试试，再往下看。
这次，我们得到了一个莫比乌斯环。
容易得到，
一莫比乌斯环的边线的平面投影一定有自交
，所以一定存在两组不同的自变量使得它们的
f
f
f
函数值相同。
你可以这么理解。既然莫比乌斯环上的每个点分别代表曲线上的一个点，当你尝试把莫比乌斯环映射到一个平面时，一定有两个
f
f
f
点是重合的。
而且，它们连成的线段一样长，且这两条线段的中点重合。所以这四个点可以围成矩形。
Q.E.D..
\text{Q.E.D..}
Q.E.D..