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何为分治法？

在上一篇文章中讲到归并排序就有提到过分治法，这里在重复一次：

分治法

分治法采用了递归的结构，将原问题分成几个规模较小但是类似于原问题的子问题， 通过递归的方式再来求解这些小问题，然后将子问题的解合并来建立原问题的解，分治法在每成递归时都有三个步骤：

• 
  分解:
  
  将原问题分解成若干个小问题，这些子问题是原问题的规模较小的实例
• 
  解决:
  
  解决这些子问题，通过递归的方式求解子问题，直到自问题的规模足够小，可以直接求解
• 
  合并:
  
  将这些子问题的解合并成原问题的解

最大子序列和问题

比如说有一个数组：

4 , -3, 5, -2, -1, -1, 2, 6, -2

对于这样一个数组，它的最大子序列和为11(从第一个元素到第七个)。

对于任意一个栗子，可以发现最大子序列和只有三种情况：

• 出现在数组的左半部分
• 出现在数组的右半部分
• 出现在数组的中间部分，横跨左右两部分

(这不是废话么=_=)

而且对于左半部分或者右半部分，上述结论也成立，利用这特性，可以写出相应的递归，递归结束的条件是当只有一个元素时，判断这个元素是否大于零，大于零便返回这个数，否则返回零。

然后求出左边最大值，右边最大值和横跨两边的最大值，返回这三个值中的最大值

c语言代码如下:

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include <time.h>
#define MAX_N 20

int max3(int, int, int);
int maxSubArrayAns(int []);
int maxSubArray(int [], int, int);

int main(){
    int nums[MAX_N];
    int i;
    srand(time(0));
    printf("array: \n");
    for(int i = 0; i < MAX_N; i++){
        nums[i] = (int)(rand() % (MAX_N * 2) - MAX_N);
        printf("%d\t", nums[i]);
    }
    printf("\n");
    printf("The max subsequen sum is %d.\n", maxSubArrayAns(nums));


    return 0;
}

int max3(int a, int b, int c){
    if(a > b)
        return a > c ? a : c;
    else
        return b > c ? b : c;
}

int maxSubArray(int nums[], int left, int right){
    int maxLeftSum, maxRightSum;
    int maxLeftBorderSum, maxRightBorderSum;
    int leftBorderSum, rightBorderSum;

    if(left == right)
        if(nums[left] > 0)
            return nums[left];
        else
            return 0;

    int mid = (left + right) / 2, i;
    maxLeftSum = maxSubArray(nums, left, mid);
    maxRightSum = maxSubArray(nums, mid + 1, right);

    maxLeftBorderSum = 0, leftBorderSum = 0;
    for(i = mid; i >= left; i--){
        leftBorderSum += nums[i];
        if(leftBorderSum > maxLeftBorderSum)
            maxLeftBorderSum = leftBorderSum;
    }

    maxRightBorderSum = 0, rightBorderSum = 0;
    for(i = mid + 1; i <= right; i++){
        rightBorderSum += nums[i];
        if(rightBorderSum > maxRightBorderSum)
            maxRightBorderSum = rightBorderSum;
    }

    return max3(maxLeftSum, maxRightSum, maxLeftBorderSum + maxRightBorderSum);
}

int maxSubArrayAns(int nums[]){
    return maxSubArray(nums, 0, MAX_N - 1);
}

使用分治法的话，平均时间复杂度为Θ(n lg n)。实际上解决最大子序列问题还有一种更加快速的方法，这种方法的时间复杂度是Θ(n)，是一种线性的算法

int maxSubArrayAns(int nums[]){
    int i, thisSum = 0, maxSum = 0;
    for(i = 0; i < MAX_N - 1; i++){
        thisSum += nums[i];
        if(thisSum > maxSum)
            maxSum = thisSum;
        else if(thisSum < 0)
            thisSum = 0;
    }

    return maxSum;
}