2.3.多元微积分
2.3.1.偏导数
二阶偏导数
2.3.2.多元复合函数的求导法则
2.3.3.方向导数与梯度
以二元函数为例：
t从图像上看实际上就是从
到
的距离
方向导数：
证明：
方向导数可写为：
分别看加号两边的两项，先看左边，分子分母同时乘上
当
的时候
，所以可以把
看做是
，上式变成：
根据最上面偏导数的定义公式，把
看成一个整体，可转换为：
由于
，所以有
再看右边，，分子分母同时乘上
：
同样，把
看做
，上式变为：
根据最上面偏导数的定义公式，上式变为：
证毕
梯度：
为什么梯度方向是变化最快的方向？
已知：x⃗ ,y⃗分别是二元函数f(x,y)在点
处沿x,y轴的偏导数，
是任意方向的方向导数。
求证：
的方向是二元函数f(x,y)在点
处变化最快的方向。
证明：
函数f(x,y)在点
处沿方向
的变化率为
最大等价于点
与点(cosθ,sinθ)的内积最大（内积的坐标定义），
将上面的内积化为向量形式：记
，
，则
，其中α是
的夹角；
则
最大等价于
最大，在问题的设定下θ是变量，于是等价于
方向平行，而
的方向就是
的方向，故
的方向取
的方向时，取到最大变化率。
于是由梯度的数值化定义出发，可以证明梯度方向就是方向导数值最大的那个方向，这个方向就是
的方向（注意看它的坐标）。
以上都是在二元函数的情况下进行证明的，同理可以证明多元函数的情况。
2.3.4.多元函数泰勒公式
实际使用中，只要展开的前面两项
可以看到第一项是0次项，第二项是一次项，第三项是二次项，后面的三次项一般都省略不用。
其中第二项可以看做是：
第三项可以看做是：
.
海森矩阵：
中间的海森矩阵是对称矩阵，通项为：
例如矩阵第一行为：
2.3.5.多元函数的极值
这里，A、B、C组成的为海森矩阵
证明：假设(x,y)是领域内的一个点，则在这个点上用泰勒展开得：
之前讨论正定矩阵的时候有过结论：
一个矩阵A是正定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于0：
一个矩阵A是负定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置小于0：
一个矩阵A是半正定矩阵，则在他的左右两边乘以向量及向量转置大于等于0：
由上可得：
即
是极小值
即
是极大值
接下来要判断矩阵啥时候正定，根据正定的定理可知，如果一个矩阵正定，那么它的所有特征值要大于0。如果一个矩阵不正定，那么它的所有特征值要小于0。
综上，条件（1）得证，其他两个证明略
2.3.6.矩阵的求导
常见性质