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在

《回归分析的基本假设》

中提到了回归分析中的基本假设.这里的Box-Cox变换方法能够解决回归模型中的误差项不服从高斯分布的违例问题.通常这种违例情况出现在，误差








ϵ










ϵ


$\epsilon$
与预测变量相关的时候，会影响模型结果的精确度.简单的方法就是通过对








X












X


$X$
进行变换，如

$$\begin{equation}\begin{split} y &= \sqrt{x} \\ y &= \frac{1}{x}\\ y &= \frac{1}{\sqrt{x}}\\ y &= ln(x) \end{split}\end{equation}$$

当P值小于0.003时，由于普通数据转换方法很难使其实现正态化处理，运用Box-Cox变换方法对原数据进行正态化处理就表现出巨大的价值.当P值大于0.003时，两种变换方法均可，但优先考虑普通的平方变换.

Box-Cox变换是对反应变量y进行变换

$$y^\lambda= \begin{cases} \frac{y^\lambda-1}{\lambda}, &\lambda \neq 0\\ \log(y), &\lambda = 0 \end{cases}$$

可以看出，y的Box-Cox变换是一个变换族.








λ










λ


$\lambda$
能够决定变换的具体形式.同时上式有暗含的条件即








y




>


0










y

>

0


$y>0$
.对于任意取值，则应该改为

$$y^\lambda = \begin{cases} \frac{(y+c)^\lambda-1}{g\lambda}, &\lambda \neq 0\\ \frac{\log(y+c)}{g}, &\lambda = 0 \end{cases}$$

方法优势

• 保持原始数据中数据的大小次序
• 转换函数连续
• 转换函数可导
• 函数族各函数之间随参数改变平滑过渡，且都经过一个公共点，以增强不同函数之间的可比性
• 函数族内每个函数在公共点两边的变化趋势有一定的对称性
• 函数族的曲线是按P值大小排序的，较大的P值对应的函数曲线位于较小P值得上方

λ










λ


$\lambda$
值的确定

通过最大似然估计或者Bayes方法.

使用Box-Cox变换族一般都可以保证将数据进行成功的正态变换，但在二分变量或较少水平的等级变量的情况下，不能成功进行转换，这时可以使用广义线性模型，如Logustics模型、Johnson转换等.

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