文章来源： 丁点帮你
作者：丁点helper
昨天的文章，我们对方差分析的整体逻辑进行了初步的介绍，今天将以单向（one-way）方差分析为例，具体梳理方差分析的整个过程。
单向（one-way）方差分析，就是大家很熟悉的单因素方差分析（教科书上叫单向）, 一般也称完全随机设计(completely randomized design)的方差分析，是
指将研究对象通过完全随机化方法，分配至多个不同的处理组，比较多组的效应指标是否存在差别
。
先看如下案例：
为了解大骨节病与粮食中微量元素硒含量之间的关系，某研究团队调查了A（渭源县）、B（青州市）
两个大骨节病区
和C（泰山区）、D（长清区）
两个非大骨节病区
。
每个病区随机抽取20户农户并采集面粉，检测面粉中硒元素含量(μg/kg)，试分析这4个地区面粉中硒含量是否存在差异。具体的数据情况如下表1。
表1 四地区面粉硒元素含量样本数据表
我们将上述数据绘制成图形（如下图，每个空心小圆圈代表一个样本值），可以很直观地看到，这80个样本值（20*4）各不相同，即它们存在差异。
暂时忽略其他潜在的混杂因素，这种差异的原因可能是由于它们来自不同的地区，但因为四个小组内部的数值也都一一不同，所以，差异也可能仅仅是因为随机误差，通俗地理解就是人们说的运气导致的。
不过，仔细地观察发现两个病区的数据好像明显要低一些，这便提示地区的不同确实有可能造成了目前的差异。
为了验证我们的猜测，就可以采用方差分析来检验：
病区与非病区面粉硒含量的差异是否具有统计学意义。
这里需要再明确一点的是，我们的目标是比较这四个地区面粉中硒含量是否有差异，
在实际操作中，我们比较的是四个地区硒含量的总体平均数，因此，只要总体平均数有差异，我们就说四地区硒含量有差异。
要进行方差分析，当然，我们首先要进行假设：
这四组数据都没有差异，注意是都没有！
在这个假设下，我们可以把这四组数据看做是一个大组，即将上述80个数据视为一个整体。对于这个整体，我们可以计算一个平均数和标准差，即表1中72.22和20.00。
可是实际情况下，这80个数据是分属于四个小组的，因此我们也可以分别计算这四个小组的平均数，即57.11、55.58、85.62、90.55。
如果假设成立（即四组数据都没有差异），那么这四个小组的平均数应该是围绕着整体平均数（即72.22）上下波动的，互相差异应该不是很大。
但现在我们实际获得的数据却显示，小组中最低的均数为57.11、最大的为90.55，直观上看都与72.22的距离不小，所以我们就会怀疑不能把它们看做一个整体（更严谨的表达是，它们不是来自同一个总体），从而拒绝它们相同的假设。
顺着这个思路，我们获得下面这张表格（表2）：
表2 方差分析一般结果表
上述表格中涉及的具体的计算过程大家不需要细看，只需大概了解所谓的“离均差平方和（SS）”和“均方（MS）”的计算方法。
然后对照前面我们谈到的方差的概念和计算方法，你是否会发现，不明所以的
“均方（MS）”其实可以看做是一种特殊类型的“方差”
！
对照下图方差的计算公式：左边是离均差平方和，右边是自由度。
我们首先看衡量“组内变异”的均方（MS组内），在各个小组内部因为没有地区差异，所以MS组内的大小大小仅反映了随机误差（即运气）的情况。
而当假设四组总体均数相同时，组间均方（MS组间）的大小也仅仅反映随机误差的大小。
如何理解这里的谈到的“随机误差”呢？
对于来自同一个总体的两个或多个样本的差异我们可以简单理解为
随机误差
，也就是说，虽然表面上它们不同，但这种不同并没有意义，也不会反映额外的信息，仅仅是因为运气导致的。
好比你和别人掷色子比大小，虽然你们获得的点数不同，但这种不同完全是因为运气，不能说明任何其他的问题，同时也不会出现一个人总赢、另一个总输的局面。
但是如果对方悄悄在色子上做了点手脚，知道怎样掷可以获得大的点数，这个时候，
你们点数的差异就不再仅仅因为运气，还有色子的原因。
用统计学的语言来说，就是你们的差异不仅包含了随机误差，还包含了其他因素。所以，下次如果感觉自己总是在输，就要看看是不是色子出现了问题。
回到本例，既然MS组间和MS组内这两者都仅反映随机误差的大小，那么其携带的信息量就应该没有差异（提示：方差的大小决定了数据的信息量）。
由此，
在数值上MS组间与MS组内差异不大，所以使用MS组间除以MS组内时，所获得F值原则上应该在1附近
。
如果现在我们获得的数据计算出来的F值比1大很多（对应的P值会很小），
则意味着MS组间远大于MS组内
，从而表示，MS组间携带了多余的信息，因此，可以证明MS组间的差异不仅仅包含随机误差，还包含其他因素（比如地区不同），结合本例，即意味着四地区间面粉硒含量不都相同！
将上述数据用SPSS运算后获得结果如下表3。很显然，F值超过46，远大于1（注意，在正式情况下F值并非和1比较，这里仅为了方便理解），其对应的P值远小于0.05，由此拒绝零假设，差异有统计学意义，可以认为这四个地区硒含量的总体均数不全相等，也就是说至少有两个地区总体均数不等。
表3 四地区硒含量方差分析结果表
单向方差分析仅告诉我们这四个总体均数不全相等，但具体哪几个不等，哪几个相等呢？这就涉及到两两比较了，这就是我们明天的内容。