前言
不同特征值对应的特征向量相互正交
，是实对称矩阵的一个重要属性，而且从这个属性出发可以证明实对称矩阵的另一个属性：
实对称矩阵必可相似对角化
。对于一个 n 维矩阵，其可相似对角化的充分且必要条件是——具有 n 个线性无关的特征向量。如果一个 n 维矩阵的不同特征值对应的特征向量相互正交，那么这个矩阵不同特征值对应的特征向量之间线性无关，又因为实对称矩阵 A 的 k 重特征值所对应的线性无关的特征向量恰有 k 个，则 n 维实对称矩阵必然具有 n 个线性无关的特征向量，所以，实对称矩阵必可相似对角化。
本文的中心是证明——对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交。
证明
给定一个 n 维实对称矩阵
S
S
S
，用
λ
,
α
\lambda, \alpha
λ
,
α
表示它的两个不等的特征值，用
x
,
y
x, y
x
,
y
分别表示
S
S
S
对应于
λ
,
α
\lambda, \alpha
λ
,
α
的特征向量，即：
S
T
=
S
,
S
x
=
λ
x
,
S
y
=
α
y
(
α
≠
λ
)
S^T=S,\ Sx=\lambda x ,\ Sy=\alpha y \ (\alpha \neq \lambda)
S
T
=
S
,
S
x
=
λ
x
,
S
y
=
α
y
(
α
=
λ
)
.
对
S
x
=
λ
x
Sx=\lambda x
S
x
=
λ
x
两边转置，得
x
T
S
T
=
λ
x
T
x^TS^T=\lambda x^T
x
T
S
T
=
λ
x
T
，再往两端右乘一个
y
y
y
，并利用
S
T
=
S
S^T=S
S
T
=
S
，得：
x
T
S
y
=
λ
x
T
y
(1)
x^TSy = \lambda x^Ty \tag{1}
x
T
S
y
=
λ
x
T
y
(
1
)
对
S
y
=
α
y
Sy=\alpha y
S
y
=
α
y
两端左乘一个
x
T
x^T
x
T
，得：
x
T
S
y
=
α
x
T
y
(2)
x^TSy=\alpha x^Ty \tag{2}
x
T
S
y
=
α
x
T
y
(
2
)
再用 式
(
1
)
(1)
(
1
)
减去 式
(
2
)
(2)
(
2
)
：
0
=
(
λ
−
α
)
x
T
y
(3)
0 = (\lambda – \alpha)x^Ty \tag{3}
0
=
(
λ
−
α
)
x
T
y
(
3
)
已知
λ
≠
α
\lambda \neq \alpha
λ
=
α
，所以只能是
x
T
y
=
0
x^Ty=0
x
T
y
=
0
，即特征向量
x
x
x
与特征向量
y
y
y
相互正交，故得证：对于实对称矩阵，不同特征值对应的特征向量相互正交。
参考源
-
Lecture 4: Eigenvalues and Eigenvectors
（Matrix Methods in Data Analysis, Signal Processing, and Machine Learning）by Prof. Gilbert Strang.