【线性代数】第一章 1.1矩阵及其运算

【写在前面的话】众所周知，线性代数在计算机应用方面也是比较广的（比如人工智能等前沿科技领域）。所以…在CSDN记录线性代数的知识不为过吧，哈哈（//狗头保命）。从这里开始我将详细记录线性代数知识点。想要学线性代数的小伙伴可以跟随我的脚步一起学习一下。（坚持每天至少发一篇）话不多说，我们直接开始。

一，矩阵的概念

我们先来看一下书上关于

矩阵

的标准

定义：

由m×n个数排成的m行n列数表

称为一个m行n列矩阵，简称为m×n矩阵，其中
$_{aij}$
表示第i行第j列处的元（或称元素），i称为
$_{aij}$

的行指标，j称为
$_{aij}$
的列指标。

元是实数的矩阵称为实矩阵，元为复数的矩阵称为复矩阵。一般未加特殊说明，都默认为是实矩阵。

举个简单的例子

：如果你看到了一个形如这样的东西

$\begin{pmatrix} 0 & 3&4 &7 &5 \\ 8&2 &3 &0 &2 \\ 5&4 &0 &6 &6 \end{pmatrix}$
,那么我们可以称它是一个3×5的矩阵，其中“3”表示这个矩阵的行，“4”表示这个矩阵的列（基于此，我们可以利用下标表示矩阵里的任何一个元，如：
$_{a12}$
=3,
$_{a24=0}$
,
$_{a35}$
=6）。

以为矩阵的概念到此就介绍了吗？（哈哈，同学，你还是太单纯）请接收由矩阵的基础定义而拓展的一系列其他矩阵相关概念的“轰炸”。但是看的时候也不要有太多的心里负担，因为这些概念可以更好的帮助我们理解矩阵。（新增拓展矩阵概念已用“绿色”标记）

系数矩阵

：

n元线性方程组

的系数可以组成一个m行n列矩阵

称为方程组的

系数矩阵

；

增广矩阵：

而系数及常数项可以组成一个m行n+1列矩阵

称为方程组的

增广矩阵

。

零矩阵：

元全为零的矩阵称为零矩阵，记作
$_{Omn}$
或
$^{O}$
（

注意

：m和n之间应该有个“×”，实在打不出来，呜呜呜┭┮﹏┭┮，之后类似的试子也是如此，比如下方的
$_{O22}$
,
$_{O23}$
，此后不再复述）.如

$_{O22}=\begin{pmatrix} 0 &0 \\ 0& 0 \end{pmatrix}$
，
$_{O23}=\begin{pmatrix} 0 &0 &0 \\ 0&0 &0 \end{pmatrix}$
.

当m=n时，称A为

n阶矩阵

（或n阶方程）。

行矩阵和列矩阵：

只有1行（1×n）或1列（m×1）的矩阵

$\begin{pmatrix} _{a11}, &_{a12}, &..., &_{a1n} \end{pmatrix}$
,
$\begin{pmatrix} _{a11}\\ _{a21}\\ ...\\ _{am1} \end{pmatrix}$
分别称为

行矩阵

和

列矩阵

。

对角矩阵：

若矩阵的元
$_{aij}$
=0(i≠j),则称A为对角矩阵，
$_{aii}$
(i=1,2…,n)称为A的对角元，记作A=diag(
$_{a11},_{a22},...,_{ann}$
)

例如，
$A=\begin{pmatrix} -1 &0 \\ 0&5 \end{pmatrix}=diag(-1,5)$

为二阶对角矩阵.

单位矩阵：

对角元全为1的对角矩阵称为单位矩阵，n阶单位矩阵记为
$_{In}$
,在不致混淆时也记为
$_{I}$
,即

$_{I}=diag(1,1,...,1)=\begin{pmatrix} 1 & & & \\ &1 & & \\ & &... & \\ & & &1 \end{pmatrix}$

要记住
$I$
的含义呦~之后会经常用到的

上三角矩阵

和

下三角矩阵：

形如

$\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ 0 &_{a22} &... &_{a2n} \\ ... & ... & ... &... \\ 0& 0 & ... & _{ann} \end{pmatrix},\begin{pmatrix} _{a11} & 0 & ... & 0\\ _{a21}& a22 & ... &0 \\ ...& ...& ... &... \\ _{an1}&_{an2} &... & _{ann} \end{pmatrix}$

的矩阵被称为

上三角矩阵

和

下三角矩阵

。

二，矩阵的线性运算

为了讨论矩阵的运算，我们首先给出矩阵相等的概念。

如果A和B都是m×n矩阵，就称A和B为同型矩阵。

两个矩阵A=(
$_{aij}$
)和B=(
$^{bij}$
)如果是同型矩阵，且对应元相等，即
$_{aij}=_{bij}$
,就称A和B相等。

现在我们介绍矩阵的加法

定义2（矩阵的加法）设矩阵

$A=\begin{pmatrix} _{a11} &_{a12} &... &_{a1n} \\ _{a21}& _{a22} & ... &_{a2n} \\ ...& ...& ... &... \\ _{am1}& _{am2} &... & _{amn} \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} _{b11} &_{b12} & ...&_{b1n} \\ _{b12} & _{b22}& ... & _{b2n}\\ ...& ...&... & ...\\ _{bm1} &_{bm2} &... & _{bmn} \end{pmatrix}$

是两个m×n矩阵，将它们的对应元相加，得到一个新的m×n矩阵

$C=\begin{pmatrix} _{a11}+_{b11} &_{a12}+_{b12} &... & _{a1n}+_{b1n} \\ _{a21}+_{b21} &_{a22}+_{b22} & ... & _{a2n}+_{b2n} \\ ... & ...& ...&... \\ _{am1}+_{bm1} &_{am2}+_{bm2} &... & _{amn}+_{bmn} \end{pmatrix}$

则称矩阵C是矩阵A和B的和，记为C=A+B.

举个栗子

🌰：若
$A=\begin{pmatrix} 30 &125 &17 &0 \\ 20 & 0 & 14& 23\\ 0& 20 &20 &30 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 10 & 15 & 13 & 30\\ 0& 40&16 &17 \\ 50 & 10 & 0&10 \end{pmatrix},$

那么
$A+B=\begin{pmatrix} 40& 40& 30& 30\\ 20& 40& 30& 40\\ 50&30 &20 &40 \end{pmatrix}.$

值得注意的是，只有同型矩阵才能相加，且同型矩阵之和仍为同型矩阵。

下面介绍矩阵与数的乘积

定义3（矩阵的乘数）设
$A=(_{aij})$

m×n

是一个m×n矩阵，k是一个数，则称矩阵

$\begin{pmatrix} _{ka11} & _{ka12}& ...&_{ka1n} \\ _{ka21}&_{ka22} &... &_{ka2n} \\ ... &... &... &... \\ _{kam1}&_{kam2} &... &_{kamn} \end{pmatrix}$

为矩阵A和数k的乘积（简称矩阵的数乘），记为kA.

也就是说，用数k乘矩阵A就是将A中每一元都乘k.

矩阵的加法与数乘统称为矩阵的

线性运算

。

基于此，容易得出矩阵的线性运算满足下列八条性质。

设A,B,C为同型矩阵，k,l为数.

$1^{0}$
A+B=B+A

$2^{0}$
(A+B)+C=A+(B+C)

$3^{0}$
A+O=A

$4^{0}$
A+(-A)=O

$5^{0}$
1A=A

$6^{0}$
k(lA)=(kl)A

$7^{0}$
k(A+B)=kA+kB

$8^{0}$
(k+l)A=kA+lA

三，矩阵的乘法

定义4 设m×p矩阵
$A=(_{aij})$
m×p，p×n矩阵B=
$(_{bij})$
p×n，则由元

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n)$

构成的m×n矩阵
$C=(c_{ij]})$
m×n称为矩阵A和B的乘积，记为C=AB.

举个例子：设

$A=\begin{pmatrix} 1 &2 &3 \\ 3 & 2 & 1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 &3 \\ 3 & 1\\ 2&2 \end{pmatrix},$

则
$AB=\begin{pmatrix} 1*1+2*3+3*2 &1*3+2*1+3*2 \\ 3*1+2*3+1*2 &3*3+2*1+1*2 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 13 & 11\\ 11& 13 \end{pmatrix}.$

有定义可知：

（1）A的列数必须等于B的行数，A与B才能相乘；

（2）乘积C的行数等于A的行数，C的列数等于B的列数；

（3）乘积C中第i行第j列元
$c_{ij}$
等于A的第i行元与B的第j列元对应乘积之和，即

$c_{ij}=a_{i1}b_{1j}+a_{i2}b_{2j}+...+a_{ip}b_{pj}=\sum_{k=1}^{p}a_{ik}b_{kj}(i=1,2...,n)$

矩阵乘法满足下列运算规律：

$1^{0}$
结合律（AB）C=A(BC);

$2^{0}$
数乘结合律 k(AB)=(kA)B=A(kB),k为数;

$3^{0}$
分配律 A(B+C)=AB+AC,(B+C)A=BA+CA.

请看下面的例子：设
$A=\begin{pmatrix} 1 &1 \\ -1 & -1 \end{pmatrix},B=\begin{pmatrix} 1 & -1\\ -1& 1 \end{pmatrix},$
求AB和BA.

显然

$AB=\begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 0 \end{pmatrix},BA=\begin{pmatrix} 2 & 2\\ -2 & -2 \end{pmatrix}.$

在上述例子中我们可以看出矩阵的乘法

一般不满足交换律

，

即一般AB≠BA。

当AB≠BA时，称

A与B不可交换

；当AB=BA时，称

A与B可交换。

由例子还可见，A,B都是非零矩阵，但AB=O.由此可知，矩阵的乘法

不满足消去律

，即A≠0时，由AB=AC不能推出B=C.

矩阵乘法一般不满足交换律，

但是

，容易得到如下常用结果：

$I_{m}A$
m×n=
$A$
m×n，
$A_{m}$
×n
$I_{n}$
=
$A$
m×n. 我们称

$kI=diag(k,k,...,k)=\begin{pmatrix} k & & & \\ & k& & \\ & & ...& \\ & & & k \end{pmatrix}$
（k≠0）

为

数量矩阵

。

n阶数量矩阵
$kI$
与任意n阶矩阵A也是可交换的，这是因为
$(kI)A=k(IA)=kA,A(kI)=k(AI)=kA.$

我们还可定义方阵的幂和方阵的多项式.

定义 5 设A是n阶方阵，k为正整数，定义

$\left\{\begin{matrix} A^{1}=A & \\ A^{k+1}=A^{k}A&,k=1,2,.... \end{matrix}\right.$

由定义可证明：当m,k为正整数时，

$A^{m}A^{k}=A^{m+k},(A^{m})^{k}=A^{mk}$

但需注意，一般
$(AB)^{k}$
≠
$A^{k}B^{k}$
.

当AB=BA时，
$(AB)^{k}=A^{k}B^{k}=B^{k}A^{k},$
但其逆不真。

定义 6 设f(x)=
$a_{k}x^{k}+a_{k-1}x^{k-1}+...+a_{1}x+a_{0}$
是x的k次多项式，A是n阶方阵，则

f(A)=
$a_{k}A^{k}+a_{k-1}A^{k-1}+...+a_{1}A+a_{0}$

称为方阵A的k次多项式.

由定义容易证明：若f(x),g(x)为多项式，A,B均为n阶方阵，则

f(A)g(A)=f(B)g(B).

但是一般情况下

f(A)g(B)≠g(B)f(A)

这里要注意，一般来说

$(A+B)^{2}\neq A^{2}+2AB+B^{2},$

$(A+B)(A-B)\neq (A-B)(A+B)\neq A^{2}-B^{2},$

等等。但是，由于
$AI=IA,$
（当
$B=I$
时）因而

$(A+B)^{2}= A^{2}+2AB+B^{2},$

$(A+B)(A-B)= (A-B)(A+B)= A^{2}-B^{2},$