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泰勒级数

关于泰勒级数的概念和工程意义在这不再叙述，此文章只是用matlab把图形拟合出来，让读者形象地感受随着项数的增加，函数拟合效果逐渐逼近。

常见的函数泰勒展开：

指数函数

三项拟合效果：

x=0:0.01:5;
y1=exp(x);
y2=1+x+1/factorial(2)*power(x,2)+1/factorial(3)*power(x,3);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

五项拟合效果：

x=0:0.01:5;
y1=exp(x);
y2=1+x+1/factorial(2)*power(x,2)+1/factorial(3)*power(x,3)+1/factorial(4)*power(x,4)+1/factorial(5)*power(x,5);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

十项拟合效果：

x=0:0.01:5;
y1=exp(x);
y2=1+x+1/factorial(2)*power(x,2)+1/factorial(3)*power(x,3)+1/factorial(4)*power(x,4)+1/factorial(5)*power(x,5)+1/factorial(6)*power(x,6)+1/factorial(7)*power(x,7)+1/factorial(8)*power(x,8)+1/factorial(9)*power(x,9)+1/factorial(10)*power(x,10);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

以上分析，当有十项时，在（0，5）区间上已经深度拟合了，但是随着区间的增加，必须要增加项数才能“跟得上”原函数的变化。

例如区间增大到10：

x=0:0.01:10;
y1=exp(x);
y2=1+x+1/factorial(2)*power(x,2)+1/factorial(3)*power(x,3)+1/factorial(4)*power(x,4)+1/factorial(5)*power(x,5)+1/factorial(6)*power(x,6)+1/factorial(7)*power(x,7)+1/factorial(8)*power(x,8)+1/factorial(9)*power(x,9)+1/factorial(10)*power(x,10);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

三角函数

二项拟合：

x=-pi:0.01:pi;
y1=sin(x);
y2=x-power(x,3)/factorial(3);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

三项拟合：

x=-pi:0.01:pi;
y1=sin(x);
y2=x-power(x,3)/factorial(3)+power(x,5)/factorial(5);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

四项拟合：

x=-pi:0.01:pi;
y1=sin(x);
y2=x-power(x,3)/factorial(3)+power(x,5)/factorial(5)-power(x,7)/factorial(7);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

以上分析，当有四项时，在（-pi，pi）区间上已经深度拟合了，但是随着区间的增加，必须要增加项数才能“跟得上”原函数的变化。

例如区间增大到（-4，4）：

x=-4:0.01:4;
y1=sin(x);
y2=x-power(x,3)/factorial(3)+power(x,5)/factorial(5)-power(x,7)/factorial(7);
plot(x,y1,x,y2);
xlabel('x')
ylabel('y')

总结

数学是如此的奇妙！