第二型曲面积分

之前我们学习了第二型曲线积分，主要学习内容是第二型曲线积分的计算，其积分微元为带有方向的弧线（曲线）；而接下来的第二型曲面积分，也是主要学习它的计算方法，其积分微元是带有方向的曲面。两者有很多相通之处。

学习主要内容：

空间曲线的切向量

空间曲面的法向量

一、第一型曲面积分

首先我们先来回顾一下在第九章学过的第一型曲面积分——数量函数在曲面上的积分。

第一型曲面积分的计算

对于可积型曲面S: z = z(x, y),
$(x, y)\in D_{xy}$
, 曲面上任意一点处的法向量为

$\underset{n}{\rightarrow}$
=
$(-\frac{\partial z}{\partial x},-\frac{\partial z}{\partial y}, 1)$
,

若投影到xOy平面，则求出对z轴的方向余弦
$\cos\gamma$
,
$dS = \cos\gamma dxdy$
, 将z作为x、y的函数代入、并替换dS，得：

$\iint_{}^{}f(x, y, z)dS = \iint_{}^{}f(x, y, z(x, y))\frac{dxdy}{\cos\gamma } \\\ \iint_{}^{}f(x, y, z)dS = \iint_{}^{}f(x, y, z(x, y))\sqrt{(\frac{\partial z}{\partial x})^2+(\frac{\partial z}{\partial y})^2+1}dxdy$

由于第一型曲面积分具有奇偶性、对称性两个重要性质，在解题计算中颇有运用。

例

画出图形后，观察到积分区域（一片球的表面），这个曲面关于x轴对称，因此若被积表达式中存在关于x的奇函数的项，则该项积分结果为零；对y同理。

对等性

，就是对积分曲线而言，我们任意轮换x、y、z（比如将x换成y，将y换成z、将z换成x），积分曲线不变（我们说积分曲线具有

轮换对称性

），那么该积分满足对等性（即x、y、z地位相同，被积表达式中也可以任意轮换x、y、z），有
$\iint_{S}^{}x^2dS=\iint_{S}^{}y^2dS=\iint_{S}^{}z^2dS$
.

例

解：此处我们发现，给出的S曲面方程中任意轮换x、y、z后，方程不变，故具有对等性。

二、有向曲面与第二型曲面积分的概念

有向曲面

回顾一条直线段，它的方向由其方向向量指定（此时我们称其为向量），曲面不存在方向向量，但是存在法向量，因此借助法向量来指定曲面的方向：

几个微分关系

与曲线积分中的类似，有

$dS\cos\alpha =dydz, dS\cos\beta =dzdx, dS\cos\gamma =dxdy$

第二型曲面积分的概念

第二型曲面积分与第一型曲面积分关系

由上可知：

$\iint_{\sum_{}^{}}^{}Pdydz+Qdzdx+Rdxdy = \iint_{\sum }^{}(P\cos\alpha +Q\cos\beta + R\cos\gamma )dS$

第二型曲面积分的性质

有向性
线性性
积分曲面可加性

三、第二型曲面积分的计算

计算第二型曲面积分的第一种方法，是根据第二型曲面积分和第一型曲面积分的关系，以及第一型曲面积分的计算公式推导而来的。

关于方向与符号问题

以投影到xOy平面为例，可以想象，当单值曲面取上侧，法向量与z轴正向的夹角才是小于
$\frac{\pi }{2}$
的，转化后的二重积分取正号，反之取负号。

知识点5：分面计算法

由上看出，转化后的二重积分与z(x, y)的偏导数存在关系，但是有一项只需要乘以1即可，不用乘以偏导数，那就是dxdy这一项。那我们不妨做一些处理，只留下这一项，让转化后的二重积分形式更简洁。

启示我们的是，在计算一个普通的第二型曲面积分时，可以分别计算它投影到三个坐标面上的积分，即

$\iint_{\sum }^{}P(x,y,z)dydz+Q(x,y,z)dzdx+R(x,y,z)dxdy=\\\ \iint_{\sigma _{yz}}^{}P(x(y, z), y, z)dydz+\iint_{\sigma _{zx}}^{}Q(x, y(z,x), z)dzdx+\iint_{\sigma _{zy}}^{}R(x, y, z(x, y))dxdy$