§8.3高斯投影坐标正反算公式
任何一种投影①坐标对应关系是最主要的；②如果是正形投影，除了满足正形投影的条件外（C-R偏微分方程），还有它本身的特殊条件。
8.3.1高斯投影坐标正算公式：
高斯投影必须满足以下三个条件
：
①中央子午线投影后为直线；②中央子午线投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
由第一条件知中央子午线东西两侧的投影必然对称于中央子午线，即(8-10)式中，x为l的偶函数，y为l的奇函数；
，如展开为l的级数，收敛。
式中是
待定系数，它们都是纬度B的函数。
由第三个条件知：
(8-33)式分别对和q求偏导数并代入上式
上两式两边相等，其必要充分条件是同次幂前的系数应相等，即
(8-35)是一种递推公式，只要确定了
就可依次确定其余各系数。
由第二条件知:位于中央子午线上的点，投影后的纵坐标x应等于投影前从赤道量至该点的子午线弧长X，即(8-33)式第一式中，当
时有：
顾及(对于中央子午线)
得：
依次求得
并代入(8-33)式，得到高斯投影正算公式
8.3.2高斯投影坐标反算公式
投影方程：
满足以下三个条件
：
①x坐标轴投影后为中央子午线是投影的对称轴；② x坐标轴投影后长度不变；③投影具有正形性质，即正形投影条件。
高斯投影坐标反算公式推导要复杂些。
①由x求底点纬度(垂足纬度)
,对应的有底点处的等量纬度
，求x,y与
的关系式，仿照(8-10)式有，
由于y和椭球半径相比较小(1/16.37)，可将
展开为y的幂级数；又由于是对称投影，q必是y的偶函数，必是y的奇函数。
是待定系数，它们都是x的函数.
由第三条件知：
(8-45)式分别对x和y求偏导数并代入上式
上式相等必要充分条件，是同次幂y前的系数相等，
第二条件，当y=0时，点在中央子午线上，即x=X，对应的点称为底点，其纬度为底点纬度
，也就是x=X时的子午线弧长所对应的纬度
，设所对应的等量纬度为。也就是在底点展开为y的幂级数。
由(8-45)1式
依次求得其它各系数
将
代入(8-45)1式得
将
代入(8-45)2式得(8-56)2式。(最后表达式)
②求
的关系。
由(8-7)式
知：
按台劳级数在
展开
由(8-7)式可求出各阶导数：
将式(8-55)1,(8-55),(8-53),(8-54)代入(8-50)式并按y幂集合得高斯投
影坐标反算公式(8-56)1,
适用于电算的高斯投影计算公式
1．高斯投影正算公式：
式中，x，y分别为高斯平面纵坐标与横坐标，为子午线收敛角，单位为度。
X为子午线弧长，对于克氏椭球：
对于“
IAG 75
”椭球：
其余符号为：
，称作第二偏心率；
，称作极曲率半径。
为中央子午线经度。
对于克氏椭球：
对于“IAG 75”椭球：
算出的横坐标y应加上500公里，再在前冠以带号，才是常见的横坐标形式。
2．高斯投影反算公式：
式中，
为底点纬度，以度为单位。
，其余符号同正算公式，只是以底点纬度代替大地纬度。