点云数据下的KD-tree检索

数据结构
构建KD-tree
最近邻检索

KD-tree简称K维树，是一种空间划分的数据结构。常被用于高维空间中的搜索，比如

范围搜索

和

最近邻搜索

。kd-tree是二进制空间划分树的一种特殊情况。

在激光雷达SLAM中，一般使用的是三维点云。所以，kd-tree的维度是3。

由于三维点云的数目一般都比较大，所以，使用kd-tree来进行检索，可以减少很多的时间消耗，可以确保点云的关联点寻找和配准处于实时的状态

数据结构

kd-tree，是k维的二叉树。其中的每一个节点都是k维的数据，数据结构如下所示

struct kdtree{
    Node-data - 数据矢量   数据集中某个数据点，是n维矢量（这里也就是k维）
    Range     - 空间矢量   该节点所代表的空间范围
    split     - 整数       垂直于分割超平面的方向轴序号
    Left      - kd树       由位于该节点分割超平面左子空间内所有数据点所构成的k-d树
    Right     - kd树       由位于该节点分割超平面右子空间内所有数据点所构成的k-d树
    parent    - kd树       父节点  
}

上面的数据在进行算法解析中，并不是全部都会用到。一般情况下，会用到的数据是{数据矢量，切割轴号，左支节点，右支节点}。这些数据就已经满足kd-tree的构建和检索了。

构建KD-tree

kd-tree的构建就是按照某种顺序将无序化的点云进行有序化排列，方便进行快捷高效的检索。

构建算法：

Input: 无序化的点云，维度k

Output：点云对应的kd-tree

Algorithm：

1、初始化分割轴：对每个维度的数据进行方差的计算，取最大方差的维度作为分割轴，标记为 r；

2、确定节点：对当前数据按分割轴维度进行检索，找到中位数数据，并将其放入到当前节点上；

3、划分双支：

划分左支：在当前分割轴维度，所有小于中位数的值划分到左支中；

划分右支：在当前分割轴维度，所有大于等于中位数的值划分到右支中。

4、更新分割轴：r = (r + 1) % k;

5、确定子节点：

确定左节点：在左支的数据中进行步骤2；

确定右节点：在右支的数据中进行步骤2；

这样的化，就可以构建出一颗完整的kd-tree了。

例如一个python实现的二维样例：

from collections import namedtuple
from operator import itemgetter
from pprint import pformat

class Node(namedtuple("Node", "location left_child right_child")):
    def __repr__(self):
        return pformat(tuple(self))

def kdtree(point_list, depth: int = 0):
    if not point_list:
        return None

    k = len(point_list[0])  # assumes all points have the same dimension
    # Select axis based on depth so that axis cycles through all valid values
    axis = depth % k

    # Sort point list by axis and choose median as pivot element
    point_list.sort(key=itemgetter(axis))
    median = len(point_list) // 2

    # Create node and construct subtrees
    return Node(
        location=point_list[median],
        left_child=kdtree(point_list[:median], depth + 1),
        right_child=kdtree(point_list[median + 1 :], depth + 1),
    )

def main():
    """Example usage"""
    point_list = [(7, 2), (5, 4), (9, 6), (4, 7), (8, 1), (2, 3)]
    tree = kdtree(point_list)
    print(tree)

if __name__ == "__main__":
    main()

输出结果为

((7, 2),
 ((5, 4), ((2, 3), None, None), ((4, 7), None, None)),
 ((9, 6), ((8, 1), None, None), None))

生成的kd-tree检索图示：

在这里插入图片描述

将实验中的7个点展示在坐标轴上：(7, 2), (5, 4), (9, 6), (4, 7), (8, 1), (2, 3)

x方向维度方差较大，取x轴坐标中位数2 4 5 7 8 9，取5或者7都可以，这里取7；

取 x=7 为分割轴，则 x<7 的点为左分支， x>7 的点为右分支；

左分支：(5, 4), (4, 7), (2, 3)

右分支：(9, 6),(8, 1)

更新分割轴：下一个维度为y轴。

在左支中找到y轴的中位数(5,4)，左支数据更新为{(2,3)}，右支数据更新为{(4,7)}

在右支中找到y轴的中位数(9,6)，左支数据更新为{(8,1)}，右支数据为null。

更新分割轴：下一个维度为x轴。

确定(5,4)的子节点：

由于只有一个数据，所以，左节点为(2,3)

由于只有一个数据，所以，右节点为(4,7)

确定(9,6)的子节点：

由于只有一个数据，所以，左节点为(8,1)

右节点为空。

最终，就可以构建整个的kd-tree了。

在点云数据下，为三维环境，在三维空间x y z 轴进行空间分割；

在这里插入图片描述

相关资料可参考：

https://en.wikipedia.org/wiki/K-d_tree

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