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等价关系与等价类

从数学上看，等价类是一个对象(或成员)的集合，在此集合中的所有对象应满足等价关系。若用符号”≡”表示集合上的等价关系，那么对于该集合中的任意对象x,y, z，下列性质成立：

1、自反性：x ≡ x

2、对称性：若 x ≡ y 则 y ≡ x

3、传递性：若 x ≡ y 且 y ≡ z 则 x ≡ z

因此，等价关系是集合上的一个自反、对称、传递的关系。

通过金属线连接起来的电器的连通性，就是一种等价关系。这种关系显然具有自反性，因为任何一个器件都是与自身连通的；如果a 电连通b，那么b一定也电连通a，因此这种关系具有对称性； 若a连通到b，并且b连通到c，那么a连通到c 。

不相交集合的链表表示

每一个集合用一个链表表示。每个链表中的第一个对象作为它所在集合的代表。

每一个对象的结构：

1）集合成员

2）指向包含下一个集合成员的对象的指针

3）指向代表的指针

每个链表都包含head指针和tail指针，head指向链表的代表，tail指向链表中最后的对象。

MAKE-SET(x): O(1)，创建新链表，其仅有对象为x

FIND-SET(x): O(1)，返回x指向代表的指针

UNION(x,y): 将x所在的链表拼接到y所在链表的表尾。注意，对于原先x所在链表中的每一个对象，都需要更新其指向代表的指针。

加权合并启发式策略：设每个表还包括了表的长度，合并时，总是把较短的表拼到较长的表上。

使用加权合并策略，对m个MAKE-SET, UNION和FIND-SET操作所构成的序列（其中n个MAKE-SET操作，因此UNION操作的次数至多为n-1），花费的总时间为O(m+nlgn)。

不相交集合森林

并查集的一般用途就是用来维护某种具有自反、对称、传递性质的关系的等价类。并查集一般以树形结构存储，多棵树构成一个森林，每棵树构成一个集合，树中的每个节点就是该集合的元素，找一个代表元素作为该树(集合)的祖先。

并查集支持以下三种操作：

1、Make_Set(x) 把每一个元素初始化为一个集合

初始化后每一个元素的父亲节点是它本身，每一个元素的祖先节点也是它本身。

2、Find_Set(x) 查找一个元素所在的集合

查找一个元素所在的集合，只要找到这个元素所在集合的祖先即可。判断两个元素是否属于同一集合，只要看他们所在集合的祖先是否相同即可。

3、Union(x,y) 合并x,y所在的两个集合

合并两个不相交集合操作很简单：首先设置一个数组Father[x]，表示x的”父亲”的编号。那么，合并两个不相交集合的方法就是，找到其中一个集合的祖先，将另外一个集合的祖先指向它。

并查集的优化

1、Find_Set(x)时 路径压缩

寻找祖先时我们一般采用递归查找，但是当元素很多亦或是整棵树变为一条链时，每次Find_Set(x)都是O(n)的复杂度，有没有办法减小这个复杂度呢？

答案是肯定的，这就是路径压缩，即当我们经过”递推”找到祖先节点后，”回归”的时候顺便将它的子孙节点都直接指向祖先，这样以后再次Find_Set(x)时复杂度就变成O(1)了。

2、Union(x,y)时 按秩合并

即合并的时候将元素少的集合合并到元素多的集合中，这样合并之后树的高度会相对较小。

思想是使包含较少结点的树的根指向包含较多结点的树的根，并不是显式的记录以每个结点为根的子树大小，而是一种简化分析的方法。用秩表示结点高度的一个上界。在按秩合并中，具有较小秩的根在UNION操作中要指向较大秩的根。

如果将按秩合并和路径压缩分开使用的话，都不能改善不相交集合森林的操作的运行时间；如果联合起来使用，则改善的幅度更大。两种方同时使用的时候，最坏情况运行时间为O(ma(n))，其中a(n)是一个增长极其缓慢的函数。其中路径压缩和按秩合并完全兼容，使得两个优化方法可以同时实现。定理证明:M次Union和Find的运行时间为O(MlogN)。

c语言实现源码：

#include <stdio.h>
#include <stdlib.h>
#include "disjset.h"
 
 /*不想交集ADT的数据结构：使用树来表示每一个集合，树上的每一个元素都有相同的根。
 S[i] < 0表示结点i为树的根结点，S[i]的绝对值表示树的秩（树的高度的估值）。
 S[i] > 0表示i结点是非根结点，S[i]表示结点i的父亲结点。*/
 
 
 /*开始时每个集合含有一个元素，该元素都为一个集合的根节点*/
 void initialize(DisjSet S)
 {
     int i;
     for( i = NumSets; i > 0; i --)
         S[i] = -1;
 }
 /*按秩求并，使得较小秩的树成为较大秩的树的子树*/
 void SetUnion(DisjSet S, SetType Root1, SetType Root2)
 {
     if(S[Root2] < S[Root1])/*Root2树的秩大于Root1树的秩，把Root1合并到Root2上*/
     {
         S[Root1] = Root2;
     }
     else/*Root1树的秩大于等于Root2树的秩，把Root2合并到Root1上*/
     {
         if(S[Root1] == S[Root2])
            S[Root1] --;
         S[Root2] = Root1;
     }
 }
 /*路径压缩*/
 SetType Find(ElementType X, DisjSet S)
 {
     if(S[X] <= 0)
         return X;
     else
         return S[X] = Find(S[X], S);/*把X到根的路径上的每个结点都使它的父节点变成根*/
 }