群、环、域基础相关理论
封闭性：
对于数据集S的运算
×
\times
×
满足
S
×
S
→
S
S \times S \rightarrow S
S
×
S
→
S
，即为在数据集
S
上的运算结果仍然在数据集S中，成数据集S对运算
×
\times
×
满足封闭性。
代数系统：
在数据集S中，如果数据集S对于运算
×
\times
×
满足封闭性，那么<
S
,
×
\times
×
> 称为代数系统。(S不为空，运算
×
\times
×
存在， 封闭性)
结合律(C1）：
在代数系统S中，任意的
a
,
b
,
c
∈
S
a,b,c \in S
a
,
b
,
c
∈
S
,都有
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
(ab)c = a(bc)
(
a
b
)
c
=
a
(
b
c
)
,那么就称代数系统S满足结合律。
单位元(C2)：
在代数系统S中，存在一个元素
e
∈
S
e \in S
e
∈
S
，使得对
S
中所有的元素a,都有
e
a
=
a
e
=
a
ea = ae = a
e
a
=
a
e
=
a
, 那么
e
就称为代数系统
S
的单位元(单位元是唯一的)。
可逆元(C3)：
在存在单位元
e
的代数系统S中，设a是S中的一个元素，如果
S
中存在一个元素
a
′
a^{‘}
a
′
使得
a
a
′
aa^{‘}
a
a
′
=
a
′
a
=
e
a^{‘}a = e
a
′
a
=
e
,则成元素
a
为S中的可逆元,
a
′
a^{‘}
a
′
称为a的逆元，通常记为
a
−
1
a^{-1}
a
−
1
.
交换律(C4)：
在代数系统
S
中，如果对于S中的任意元素a,b都有
b
a
=
a
b
ba = ab
b
a
=
a
b
,则称代数系统
S
满足交换律。
群
半群：
满足结合律的代数系统称为半群。
可交换半群：
满足交换律的半群，称为可交换半群。
群：
代数系统G满足结合律，单位元，可逆性(对于
∀
a
∈
G
\forall a \in G
∀
a
∈
G
，都存在
a
′
∈
G
a^{‘} \in G
a
′
∈
G
,使得
a
a
′
=
a
′
a
=
e
aa^{‘} = a ^{‘} a = e
a
a
′
=
a
′
a
=
e
, 即为G中任意元素存在逆元)， 则称
G
G
G
为群。 群G中元素的个数称为群的
阶
，记为
∣
G
∣
|G|
∣
G
∣
, 当
∣
G
∣
|G|
∣
G
∣
为有限的数字时，称
G
G
G
为有限群；反之，称
∣
G
∣
|G|
∣
G
∣
为无限群。
交换群(阿倍尔(Abel)群)：
当群G满足交换律时，称为交换群(阿倍尔(Abel)群)。
一般线性群：
可逆矩阵A所组成的集合，记为
G
L
n
(
P
)
GL_{n} (P)
G
L
n
(
P
)
,对于矩阵的乘法构成一个群，通常称
G
L
n
(
K
)
GL_{n} (K)
G
L
n
(
K
)
为n级
一般线性群
；
G
L
n
(
K
)
GL_{n} (K)
G
L
n
(
K
)
中全体行列式为1的矩阵对于矩阵乘法也成一个群，这个群记为
S
L
n
(
K
)
SL_{n} (K)
S
L
n
(
K
)
， 称为
特殊线性群
。
对称群：
设S是一个非空集合， G是S到自身的所有一一映射f所组成的集合。对于
f
,
g
∈
G
f,g\in G
f
,
g
∈
G
,定义f和g的复合映射为：对于
∀
x
∈
S
,
（
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
\forall x\in S, （g\circ f)(x)=g(f(x))
∀
x
∈
S
,
（
g
∘
f
)
(
x
)
=
g
(
f
(
x
)
)
,则G对于映射的复合运算，构成一个群，叫做对称群。恒等映射是单位元，G中的元素叫做S的一个置换。当S是n元有限集时，G叫做n元对称群，记做
S
n
S_n
S
n
.
子群：
设H是群G的一个子集。如果对于群G的运算，H构成一个群，那么H叫做群G的子群，记做
H
≤
G
H\leq G
H
≤
G
.
H
=
e
H={e}
H
=
e
和
H
=
G
H=G
H
=
G
都是群G的子群，叫做群G的平凡子群。群G的子群H叫做群G的真子群，如果H不是群G的平凡子群。子群的判断：设H是群G的一个非空子集合，则H是群G的子群的充要条件是：对
∀
a
,
b
∈
H
\forall a,b\in H
∀
a
,
b
∈
H
, 有
a
b
−
1
∈
H
ab^{-1}\in H
a
b
−
1
∈
H
.
同态和同构
同态和同构： 设
G
,
G
′
G,G^{‘}
G
,
G
′
都是群，f是
G
G
G
到
G
′
G^{‘}
G
′
的一个映射，如果对于任意的
a
,
b
∈
G
a,b\in G
a
,
b
∈
G
，都有
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
f(ab)=f(a)f(b)
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
f
(
b
)
，那么
f
f
f
叫做
G
G
G
到
G
′
G^{‘}
G
′
的一个同态。如果
f
f
f
是一对一的，则称
f
f
f
为单同态。如果
f
f
f
是满射，则称为满同态，如果
f
f
f
是一一对应的，则称f为同构。当
G
=
G
′
G=G^{‘}
G
=
G
′
时，同态
f
f
f
叫做自同态，同构
f
f
f
叫做自同构。
环
环的相关定义
设代数系统S是具有两种运算(一般表示为加法和乘法)的非空集合。对于以下条件：
- S对于加法构成一个交换群。(加法构成交换群)
-
对于任意的
a,
b
,
c
∈
S
a,b,c\in S
a
,
b
,
c
∈
S
，有(ab)c=a(bc)。(乘法的结合律) -
对任意的
a,
b
,
c
∈
S
a,b,c\in S
a
,
b
,
c
∈
S
,有
(a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
(a+b)c=ac+bc
(
a
+
b
)
c
=
a
c
+
b
c
或
a(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
a(b+c)=ab+ac
a
(
b
+
c
)
=
a
b
+
a
c
.（加法对乘法的分配率。）
满足1,2,3, 则S被称为环。 -
如果
∀a
,
b
∈
S
\forall a,b \in S
∀
a
,
b
∈
S
, 有ab = ba。(乘法的交换律)
满足1,2,3,4, 则S叫做交换环 -
如果R中存在一个元素
e=
1
R
e=1_R
e
=
1
R
使得：
∀a
∈
R
\forall a\in R
∀
a
∈
R
, 有
a1
R
=
1
R
a
=
a
a1_{R} = 1_{R} a=a
a
1
R
=
1
R
a
=
a
.
满足1,2,3,4,5， 则S叫做由单位元环。 -
设S是环。S中非零元a称为左零因子(对应的有右零因子)，如果存在非零元
b∈
S
b\in S
b
∈
S
对应的有
c∈
S
c\in S
c
∈
S
)使得ab=0(对应的有
ca
=
0
ca=0
c
a
=
0
),a称为零因子，如果它同时是左零因子和右零因子，则称S为有零因子环。 -
设S是有单位元
1R
1_R
1
R
的环。R中元a称为左逆元(对应的有右逆元)，如果存在元素
b∈
R
b\in R
b
∈
R
(对应的有
c∈
R
c\in R
c
∈
R
)使得
ab
=
1
R
ab=1_R
a
b
=
1
R
(对应的有
ca
=
1
R
ca=1_R
c
a
=
1
R
).这时，b(d对应的有c)，叫做a的右逆(对应的有左逆)。a称为左逆元和右逆元。 - 设R是一个交换环，则称R为整环，如果R中有单位元，但没有零因子。
-
称交换环K为一个域，如果K中有单位元，且每个非零元都是可逆元，则K对于加法构成一个交换群，
K∗
=
K
/
{
0
}
K^* = K / \{ 0 \}
K
∗
=
K
/
{
0
}
(应该是右斜没打出来)，对于乘法构成一个交换群。总结，交换环K满足每一个元素存在可逆元，乘法去除零因子后构成交换群。
环的性质
-
对
∀a
∈
R
\forall a\in R
∀
a
∈
R
, 有
0a
=
a
0
=
0
0a=a0=0
0
a
=
a
0
=
0
. -
对
∀a
,
b
∈
R
\forall a,b \in R
∀
a
,
b
∈
R
, 有
(−
a
)
b
=
a
(
−
b
)
=
−
a
b
(-a)b=a(-b)=-ab
(
−
a
)
b
=
a
(
−
b
)
=
−
a
b
. -
对
∀a
,
b
∈
R
\forall a,b \in R
∀
a
,
b
∈
R
, 有
(−
a
)
(
−
b
)
=
a
b
(-a)(-b)=ab
(
−
a
)
(
−
b
)
=
a
b
. -
对
∀n
∈
Z
\forall n \in Z
∀
n
∈
Z
,
∀a
,
b
∈
R
\forall a,b\in R
∀
a
,
b
∈
R
,有
(n
a
)
b
=
a
(
n
b
)
=
n
a
b
(na)b=a(nb)=nab
(
n
a
)
b
=
a
(
n
b
)
=
n
a
b
. -
对
∀a
i
,
b
j
∈
R
\forall a_i, b_j \in R
∀
a
i
,
b
j
∈
R
,有
(∑
i
=
1
n
a
i
)
(
∑
j
=
1
m
b
j
)
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
m
a
i
b
j
(\sum\limits_{i=1}^na_i)(\sum\limits_{j=1}^mb_j)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^ma_ib_j
(
i
=
1
∑
n
a
i
)
(
j
=
1
∑
m
b
j
)
=
i
=
1
∑
n
j
=
1
∑
m
a
i
b
j
. -
环的同态：
设
R,
R
′
R, R^{‘}
R
,
R
′
是两个环，称映射
f:
R
→
R
′
f:R\rightarrow R^{‘}
f
:
R
→
R
′
为环同态，如果
ff
f
满足以下条件：
(i) 对
∀a
,
b
∈
R
\forall a,b \in R
∀
a
,
b
∈
R
, 有
f(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
f(a+b)=f(a)+f(b)
f
(
a
+
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
;
(ii)对
∀a
,
b
∈
R
\forall a,b \in R
∀
a
,
b
∈
R
,有
f(
a
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
f(ab)=f(a)+f(b)
f
(
a
b
)
=
f
(
a
)
+
f
(
b
)
;
如果f是一对一的，则称f为单同态；如果f是满射则称f为满同态；如果f是一一对应的，则称f为同构。 -
环的理想：
设R是一个环，I是R的子环。
左理想：如果
∀r
∈
R
\forall r\in R
∀
r
∈
R
和
∀a
∈
I
\forall a\in I
∀
a
∈
I
,都有
ra
∈
I
ra\in I
r
a
∈
I
,则称I为R的左理想。
右理想：如果
∀r
∈
R
\forall r\in R
∀
r
∈
R
和
∀a
∈
I
\forall a\in I
∀
a
∈
I
,都有
ar
∈
I
ar\in I
a
r
∈
I
,则称I为R的右理想。
理想：如果I同时为R的左理想和右理想，则I称为R的理想。 -
多项式环:
设R是整环，
xx
x
为变量，则在
RR
R
中形为
an
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
,
a
i
∈
R
a_nx_n + a_{n-1}x^{n-1}+ \ldots + a_1x + a_0, a_i \in R
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
…
+
a
1
x
+
a
0
,
a
i
∈
R
,的元素称为R上的多项式。则当
an
≠
0
a_n \neq 0
a
n
=
0
时，多项式
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的次数为
nn
n
，记为
de
g
f
=
n
deg f = n
d
e
g
f
=
n
.
多项式整除：设
f(
x
)
,
g
(
x
)
f(x),g(x)
f
(
x
)
,
g
(
x
)
是整环R上的任意两个多项式，其中
g(
x
)
≠
0
g(x) \neq 0
g
(
x
)
=
0
.如果存在一个多项式
q(
x
)
q(x)
q
(
x
)
使得等式
f(
x
)
=
q
(
x
)
⋅
g
(
x
)
f(x)=q(x)\cdot g(x)
f
(
x
)
=
q
(
x
)
⋅
g
(
x
)
成立，就称
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
整除
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
或者
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
被
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
整除。这时把
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
叫做
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
的因式，把
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
叫做
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的倍式。否则，就称
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
不能整除
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
或者
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
不能被
g(
x
)
g(x)
g
(
x
)
整除，记做
g(
x
)
∤
f
(
x
)
g(x)\nmid f(x)
g
(
x
)
∤
f
(
x
)
.
不可约多项式：设f(x)是整环R上的非常数多项式。如果除了显然因式1和
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
外,
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
没有其它非常数因式，那么，
f(
x
)
f(x)
f
(
x
)
就叫做不可约多项式或既约多项式，否则，f(x)叫做合式。
域
五元组
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
(F, +, \cdot, 0, 1 )
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
中，F为集合，+和
⋅
\cdot
⋅
为集合F上的二元运算，0和1为F中元素，若
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
(F, +, \cdot, 0, 1 )
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
满足：
F1(加法交换群)：(F, + , 0)是交换群。
F2(乘法交换群)：
(
F
∗
,
⋅
,
1
)
(F^*, \cdot, 1)
(
F
∗
,
⋅
,
1
)
是交换群，
F
∗
=
F
−
0
F^* = F – 0
F
∗
=
F
−
0
.
F3(乘法对加法的分配率):
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
a\cdot(b+c)=a\cdot b+a\cdot c
a
⋅
(
b
+
c
)
=
a
⋅
b
+
a
⋅
c
,
则称
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
(F, +, \cdot, 0, 1 )
(
F
,
+
,
⋅
,
0
,
1
)
为域。
域的基本性质
设
F
F
F
是域，那么F中以下运算规则成立：
加法消去律：设
a
,
b
,
c
∈
F
a,b,c\in F
a
,
b
,
c
∈
F
,且
a
+
c
=
b
+
c
a+c=b+c
a
+
c
=
b
+
c
,则一定有
a
=
b
a=b
a
=
b
.
乘法消去律：设
a
,
b
,
c
∈
F
a,b,c\in F
a
,
b
,
c
∈
F
,且
c
≠
0
c\neq 0
c
=
0
,如果
a
⋅
c
=
b
⋅
c
a\cdot c = b\cdot c
a
⋅
c
=
b
⋅
c
,则一定a = b.
对于任意的
a
∈
F
a\in F
a
∈
F
,都有
−
(
−
a
)
=
a
-(-a) = a
−
(
−
a
)
=
a
.
对于任意的
a
∈
F
a\in F
a
∈
F
,且
a
≠
0
a\neq 0
a
=
0
，都有
(
a
−
1
)
−
1
=
a
(a^{-1})^{-1}=a
(
a
−
1
)
−
1
=
a
.
对于任意的
a
∈
F
a\in F
a
∈
F
,都有
a
⋅
0
=
0
a\cdot 0 = 0
a
⋅
0
=
0
.
对于任意的
a
,
b
∈
F
a,b\in F
a
,
b
∈
F
,若
KaTeX parse error: Undefined control sequence: \cdotb at position 2: a\̲c̲d̲o̲t̲b̲=0
,则一定有
a
=
0
a =0
a
=
0
或
b
=
0
b=0
b
=
0
.
对于任意的
a
,
b
∈
F
a,b\in F
a
,
b
∈
F
,都有
−
(
a
+
b
)
=
(
−
a
)
+
(
−
b
)
-(a+b) = (-a)+(-b)
−
(
a
+
b
)
=
(
−
a
)
+
(
−
b
)
.
对于任意的
a
,
b
∈
F
a,b\in F
a
,
b
∈
F
,都有
a
⋅
(
−
b
)
=
(
−
a
)
⋅
b
=
−
a
⋅
b
a\cdot (-b)=(-a)\cdot b=-a\cdot b
a
⋅
(
−
b
)
=
(
−
a
)
⋅
b
=
−
a
⋅
b
对于任意的
a
,
b
∈
F
a,b\in F
a
,
b
∈
F
,都有
(
−
a
)
⋅
(
−
b
)
=
a
⋅
b
(-a)\cdot (-b)=a\cdot b
(
−
a
)
⋅
(
−
b
)
=
a
⋅
b
.
对于任意的
a
,
b
∈
F
a,b\in F
a
,
b
∈
F
,且
a
≠
0
,
b
≠
0
a\neq0, b\neq 0
a
=
0
,
b
=
0
,都有
(
a
⋅
b
)
−
1
=
a
−
1
⋅
b
−
1
(a\cdot b)^{-1} = a^{-1}\cdot b^{-1}
(
a
⋅
b
)
−
1
=
a
−
1
⋅
b
−
1
.
对于任意的
a
∈
F
a\in F
a
∈
F
,且
a
≠
0
a\neq 0
a
=
0
,都有
(
−
a
)
−
1
=
−
a
−
1
(-a)^{-1}=-a^{-1}
(
−
a
)
−
1
=
−
a
−
1
.
如果
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
不全为0，则
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的公因式中次数最高的首1多项式称为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的最高公因式。
如果
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
不全为0，则
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的公倍式中次数最高的首1多项式称为
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
和
g
(
x
)
g(x)
g
(
x
)
的最高公倍式。