OFDM系统中基于dmrs导频的时间跟踪、频率跟踪算法

发射端模型假设

我们假设如下模型：

一个时隙有14个ofdm符号，每个符号有1024个子载波。

其中792个子载波是数据子载波，232个子载波是空载波。

其中OFDM3和OFDM13的792个子载波中含有dmrs导频符号(频域)。

图中所示分别为ofdm3和ofdm13的频域帧结构，阴影部分为dmrs导频，其他地方为空。ofdm3和ofdm13的导频结构正交，导频间隔4个子载波，在792个有效子载波中共有198个导频符号。

表示

中导频位置为第

个子载波，

−

197

X_{4k+1,3}表示ofdm3中导频位置为第4k+1个子载波，k=0 – 197

$X_{4 k + 1, 3} 表示 o fd m 3 中导频位置为第 4 k + 1 个子载波， k = 0 - 197$

表示

中导频位置为第

个子载波，

−

197

X_{4k+3,13}表示ofdm13中导频位置为第4k+3个子载波，k=0 – 197

$X_{4 k + 3, 13} 表示 o fd m 13 中导频位置为第 4 k + 3 个子载波， k = 0 - 197$

构建发射端模型为：

∑

−

512

511

−

1024

x_{n,M} = \frac{1}{N} \sum_{k=-512}^{511} X_{k,M} e^{j\frac{2\pi nk}{N}} , n=1-1024

$x_{n, M} = \frac{1}{N} k = - 512 \sum 511 X_{k, M} e^{j \frac{2 πnk}{N}}, n = 1 - 1024$

x_{n,M}

$x_{n, M}$

为时域第M个ofdm符号的第n个码片，

X_{k,M}

$X_{k, M}$

为频域第M个ofdm符号的第k个子载波符号。

经过信道传输后，引入时延

\tau

$τ$

和频偏

f_d

$f_{d}$

接收端模型假设

则接收端接收模型可表示为：

⨂

−

y_{n,M}= h\bigotimes x_{n-\tau,M} e ^{j2\pi f_d t_M} + w_{n,M}

$y_{n, M} = h ⨂ x_{n - τ, M} e^{j 2 π f_{d} t_{M}} + w_{n, M}$

其中，

t_M

$t_{M}$

表示接收到ofdm M的时间，不妨假设

t_3=0

$t_{3} = 0$

，

△

t_{13}=\bigtriangleup t

$t_{13} = △ t$

。

w_{n,M}

$w_{n, M}$

表示噪声。

假设信道是时域上不变，频域上变化的。即对于同一个子载波，不同时间的信道响应是相同的。但是同一时间，不同子载波的信道响应不相同。

将上式转换为频域表达式可得

−

Y_{k,3}=H_{k} X_{k,3} e^{-j \frac{2\pi k}{N} \tau} +W_{k,3}

$Y_{k, 3} = H_{k} X_{k, 3} e^{- j \frac{2 πk}{N} τ} + W_{k, 3}$

−

△

Y_{k,13}=H_{k} X_{k,13} e^{-j \frac{2\pi k}{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k,13}

$Y_{k, 13} = H_{k} X_{k, 13} e^{- j \frac{2 πk}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W_{k, 13}$

观察第一个表达式我们可以得知，时延

\tau

$τ$

产生的相偏影响对于同一个ofdm符号的不同子载波是不同的，但是与时间无关，也就是对每个ofdm符号的影响是相同的。

观察第二个表达式我们可以得知，频偏

f_d

$f_{d}$

对ofdm系统产生的相偏影响与时间t有关，和子载波k无关。也就是对于不同ofdm符号的影响是不同的，但是对于同一个ofdm符号的不同子载波是相同的

我们的目的就是估计出时延

\tau

$τ$

和频偏

f_d

$f_{d}$

时延估计（时间跟踪）

在已知导频的情况下，我们只需要提取出导频位置的子载波进行如下计算（*表示共轭）：

∗

∣

−

(

)

Y_{4k+1,3}X_{4k+1,3}^* = |X_{4k+1,3}|^2 H_{4k+1} e^{-j \frac{2\pi (4k+1)}{N} \tau}+W_{4k+1,3}

$Y_{4 k + 1, 3} X_{4 k + 1, 3}^{*} = ∣ X_{4 k + 1, 3} ∣^{2} H_{4 k + 1} e^{- j \frac{2 π ( 4 k + 1 )}{N} τ} + W_{4 k + 1, 3}$

∗

∣

−

(

)

△

Y_{4k+3,13}X_{4k+3,13}^* = |X_{4k+3,13}|^2 H_{4k+3} e^{-j \frac{2\pi (4k+3)}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{4k+3,3}

$Y_{4 k + 3, 13} X_{4 k + 3, 13}^{*} = ∣ X_{4 k + 3, 13} ∣^{2} H_{4 k + 3} e^{- j \frac{2 π ( 4 k + 3 )}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W_{4 k + 3, 3}$

考虑到ofdm3和ofdm13的导频是正交的，他们所对应的子载波不同，他们不能直接共轭相乘，因此需要做如下步骤假设：

可以将上式化简为

∗

∣

−

Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^* = |X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3}

$Y_{k_{1}, 3} X_{k_{1}, 3}^{*} = ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} H_{k_{1}} e^{- j \frac{2 π k _{1}}{N} τ} + W_{k_{1}, 3}$

∗

∣

−

Y_{k_3,3}X_{k_3,3}^* = |X_{k_3,3}|^2 H_{k_3} e^{-j \frac{2\pi k_3}{N} \tau}+W_{k_3,3}

$Y_{k_{3}, 3} X_{k_{3}, 3}^{*} = ∣ X_{k_{3}, 3} ∣^{2} H_{k_{3}} e^{- j \frac{2 π k _{3}}{N} τ} + W_{k_{3}, 3}$

∗

∣

−

△

Y_{k_2,13}X_{k_2,13}^* = |X_{k_2,13}|^2 H_{k_2} e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_2,3}

$Y_{k_{2}, 13} X_{k_{2}, 13}^{*} = ∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} H_{k_{2}} e^{- j \frac{2 π k _{2}}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W_{k_{2}, 3}$

∗

∣

−

△

Y_{k_4,13}X_{k_4,13}^* = |X_{k_4,13}|^2 H_{k_4} e^{-j \frac{2\pi k_4}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_4,3}

$Y_{k_{4}, 13} X_{k_{4}, 13}^{*} = ∣ X_{k_{4}, 13} ∣^{2} H_{k_{4}} e^{- j \frac{2 π k _{4}}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W_{k_{4}, 3}$

接下来我们令：

∗

)

(

∗

)

∗

(

∣

−

)

(

∣

−

)

∗

∣

∗

−

假设信道平坦，我们可以得到

，此处

指代所有的噪声项　　

∣

(

−

)

\begin{aligned} 　　(Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^*)(Y_{k_3,3}X_{k_3,3}^*)^* &= (|X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3})(|X_{k_3,3}|^2 H_{k_3} e^{-j \frac{2\pi k_3}{N} \tau}+W_{k_3,3})^* 　　\\&=|X_{k_1,3}|^2|X_{k_3,3}|^2H_{k_1}H_{k_3}^*e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}e^{j \frac{2\pi k_3}{N} \tau} +W_{3} 　　\\&假设信道平坦，我们可以得到H_{k_1}=H_{k_3}，此处W_{3}指代所有的噪声项　　\\&=|X_{k_1,3}|^2|X_{k_3,3}|^2|H_{k_1}|^2e^{j \frac{2\pi (k_3 – k_1)}{N} \tau}+W_{3} 　　\end{aligned}

$(Y_{k_{1}, 3} X_{k_{1}, 3}^{*}) (Y_{k_{3}, 3} X_{k_{3}, 3}^{*})^{*} = (∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} H_{k_{1}} e^{- j \frac{2 π k _{1}}{N} τ} + W_{k_{1}, 3}) (∣ X_{k_{3}, 3} ∣^{2} H_{k_{3}} e^{- j \frac{2 π k _{3}}{N} τ} + W_{k_{3}, 3})^{*} = ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} ∣ X_{k_{3}, 3} ∣^{2} H_{k_{1}} H_{k_{3}}^{*} e^{- j \frac{2 π k _{1}}{N} τ} e^{j \frac{2 π k _{3}}{N} τ} + W_{3} 假设信道平坦，我们可以得到 H_{k_{1}} = H_{k_{3}} ，此处 W_{3} 指代所有的噪声项 = ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} ∣ X_{k_{3}, 3} ∣^{2} ∣ H_{k_{1}} ∣^{2} e^{j \frac{2 π ( k _{3} - k _{1} )}{N} τ} + W_{3}$

对99*2组导频进行累加，因为噪声W是白噪声，累加之后趋于0，可以忽略。

累加之后再开平方可得

∣

(

−

)

∣

(

−

)

\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_3 – k_1)}{2N} \tau}=\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_2 – k_1)}{N} \tau}

$\frac{N _{p}}{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣∣ X_{k_{3}, 3} ∣∣ H_{k_{1}} ∣ e^{j \frac{2 π ( k _{3} - k _{1} )}{2 N} τ} = \frac{N _{p}}{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣∣ X_{k_{3}, 3} ∣∣ H_{k_{1}} ∣ e^{j \frac{2 π ( k _{2} - k _{1} )}{N} τ}$

对于该结果，我们求其角度值可得

(

−

)

\theta = \frac{2\pi (k_2 – k_1)}{N}\tau

$θ = \frac{2 π ( k _{2} - k _{1} )}{N} τ$

根据帧结构我们可知

−

k_2 – k_1=2

$k_{2} - k_{1} = 2$

，

1024

N=1024

$N = 1024$

，带入即可求得时延

(

−

)

\tau=\frac{\theta N}{2 \pi (k_2 – k_1)}

$τ = \frac{θN}{2 π ( k _{2} - k _{1} )}$

注意，由于

\theta

$θ$

的范围在

π

,

π

-\pi,\pi

$- π, π$

之间，因此，可以估算出的时延

\tau

$τ$

是有一个范围的。

频偏估计（频率跟踪）

在已经求得时延

\tau

$τ$

的基础上，我们进一步求频偏

f_d

$f_{d}$

接下来我们令：

∗

)

(

∗

)

∗

(

∣

−

△

)

(

∣

−

)

∗

∣

∗

−

△

假设信道平坦，我们可以得到

，此处

指代所有的噪声项　　

∣

(

−

)

△

\begin{aligned} 　　(Y_{k_2,13}X_{k_2,13}^*)(Y_{k_1,3}X_{k_1,3}^*)^* &= (|X_{k_2,13}|^2 H_{k_2} e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}+W_{k_2,13})(|X_{k_1,3}|^2 H_{k_1} e^{-j \frac{2\pi k_1}{N} \tau}+W_{k_1,3})^* 　　\\&=|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2H_{k_2}H_{k_1}^*e^{-j \frac{2\pi k_2}{N} \tau}e^{j \frac{2\pi k_1}{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} +W 　　\\&假设信道平坦，我们可以得到H_{k_1}=H_{k_2}，此处W指代所有的噪声项　　\\&=|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} +W 　　\end{aligned}

$(Y_{k_{2}, 13} X_{k_{2}, 13}^{*}) (Y_{k_{1}, 3} X_{k_{1}, 3}^{*})^{*} = (∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} H_{k_{2}} e^{- j \frac{2 π k _{2}}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W_{k_{2}, 13}) (∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} H_{k_{1}} e^{- j \frac{2 π k _{1}}{N} τ} + W_{k_{1}, 3})^{*} = ∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} H_{k_{2}} H_{k_{1}}^{*} e^{- j \frac{2 π k _{2}}{N} τ} e^{j \frac{2 π k _{1}}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W 假设信道平坦，我们可以得到 H_{k_{1}} = H_{k_{2}} ，此处 W 指代所有的噪声项 = ∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} ∣ H_{k_{2}} ∣^{2} e^{j \frac{2 π ( k _{1} - k _{2} )}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} + W$

累加可得

∣

(

−

)

△

\frac{N_p}{2}|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}

$\frac{N _{p}}{2} ∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} ∣ H_{k_{2}} ∣^{2} e^{j \frac{2 π ( k _{1} - k _{2} )}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t}$

我们在求时延

\tau

$τ$

的时候就已经计算得到

∣

(

−

)

\frac{N_p}{2}|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_2 – k_1)}{N} \tau}

$\frac{N _{p}}{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣∣ X_{k_{3}, 3} ∣∣ H_{k_{1}} ∣ e^{j \frac{2 π ( k _{2} - k _{1} )}{N} τ}$

，二者相乘可得

∣

(

−

)

△

\frac{N_p^2}{4}|X_{k_2,13}|^2|X_{k_1,3}|^2|H_{k_2}|^2|X_{k_1,3}||X_{k_3,3}||H_{k_1}|e^{j \frac{2\pi (k_1-k_2+k_2-k_1) }{N} \tau} e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t} = M e^{j 2\pi f_d \bigtriangleup t}

$\frac{N _{p}^{2}}{4} ∣ X_{k_{2}, 13} ∣^{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣^{2} ∣ H_{k_{2}} ∣^{2} ∣ X_{k_{1}, 3} ∣∣ X_{k_{3}, 3} ∣∣ H_{k_{1}} ∣ e^{j \frac{2 π ( k _{1} - k _{2} + k _{2} - k _{1} )}{N} τ} e^{j 2 π f_{d} △ t} = M e^{j 2 π f_{d} △ t}$

对该结果求角度可得

‘

△

{\theta}^` = 2\pi f_d \bigtriangleup t

$θ^{‘} = 2 π f_{d} △ t$

\bigtriangleup t

$△ t$

为ofdm3和ofdm13的时间间隔，带入即可轻松求得频偏

‘

△

f_d = \frac{

{\theta}^` }{2\pi \bigtriangleup t}

$f_{d} = \frac{θ ^{‘}}{2 π △ t}$

注意，由于

‘

{\theta}^`

$θ^{‘}$

的范围在

π

,

π

-\pi,\pi

$- π, π$

之间，因此，可以估算出的频偏

d

f_d

$f_{d}$

是有一个范围的。

原文链接：https://blog.csdn.net/ddatalent/article/details/128374623

目录

发射端模型假设

接收端模型假设

时延估计（时间跟踪）

频偏估计（频率跟踪）

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