<font color=“red”，size=“5”>一、费马小定理
费马小定理：
费马小定理(Fermat’s little theorem)
是数论中的一个重要定理，在1636年提出
其内容为： 假如p是质数，且gcd(a,p)=1，那么 a^(p-1)≡1（mod p）
例如：假如a是整数，p是质数，则a,p显然互质(即两者只有一个公约数1)，那么我们可以得到费马小定理的一个特例
即当p为质数时候，
<font color=“red”,size=“4”>a^(p-1)≡1(mod p)。
其中 p 是任意一个不能被 a 整除的素数
<font color=“blue”,size=“3”>
用处：
计算 2^100 除以13的余数
2
100=2
(12*8+4) (mod 13)
=((2
12)
8)
2^4 (mod 13)
=1^8
16 (mod 13) // 2^12 (mod 13) 利用费马小定理，得出 等于 1
=16 (mod 13)
=3 (mod 13)
故余数为3。
有关费马小定理的引理：
引理1
若 n 为费马指数，则 n 的任何倍数都是费马指数。换言之，对于给定的质数 p 和整数 a ，
若 a^n-1 能被 p 整除，则 a^n*m-1（m 为正整数）也能被 p 整除 。
引理2
若 m, n 为费马指数，则 m + n 也是费马指数。换言之，对于给定的质数 p 和整数 a ，
若 a^n – 1 和 a^m – 1 能被 p 整除，则 a^(n+m)- 1 也能被 p 整除 。
引理3
若 m, n 为费马指数且 m > n ，则 m – n 也是费马指数。换言之，若 a^m – 1 和 a^n- 1 都能被 p 整除（m > n），则 a^(n-m)- 1 也能被 p 整除。
引理4
所有的费马指数都是某个最小费马指数的倍数。
<font color=“red”，size=“5”>二、欧几里德定理
欧几里德算法又称辗转相除法，用于计算两个整数a,b的最大公约数。
基本算法：
设a=qb+r，其中a，b，q，r都是整数，则gcd(a,b)=gcd(b,r)，即gcd(a,b)=gcd(b,a%b)。
第一种证明：
a 可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a – kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数
假设d 是(b,a mod b)的公约数，则
d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公约数
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，其最大公约数也必然相等，得证
第二种证明：
要证欧几里德算法成立，即证: gcd(a,b)=gcd(b,r),其中 gcd是取最大公约数的意思，r=a mod b
下面证 gcd（a，b）=gcd（b，r）
设 c是a，b的最大公约数，即c=gcd（a，b），则有 a=mc，b=nc，其中m，n为正整数，且m，n互为质数
由 r= a mod b可知，r= a- qb 其中，q是正整数，
则 r=a-qb=mc-qnc=（m-qn）c
b=nc,r=(m-qn)c，且n，（m-qn）互质（假设n，m-qn不互质，则n=xd, m-qn=yd 其中x,y,d都是正整数，且d>1,
则a=mc=(qx+y)dc, b=xdc,这时a,b 的最大公约数变成dc，与前提矛盾,所以n ，m-qn一定互质）
则gcd（b,r）=c=gcd（a,b）
得证。
代码：
1、最简单的递归
int gcd(int a,int b)
{
if(b==0)
return a;
return
gcd(b,a%b);
}
2、优化代码
int gcd(int a,int b)
{
return b ? gcd(b,a%b) : a;
}
3、迭代方式
int Gcd(int a, int b)
{
while(b != 0)
{
int r = b;
b = a % b;
a = r;
}
return a;
}
<font color=“red”，size=“5”>三、扩展欧几里德
基本算法：对于不完全为 0 的非负整数 a，b，gcd（a，b）表示 a，b 的最大公约数，必然存在整数对 x，y ，使得 gcd（a，b）=ax+by。
证明：设 a>b。
1，显然当 b=0，gcd（a，b）=a。此时 x=1，y=0；
2，ab!=0 时
设 ax1+by1=gcd(a,b);
bx2+(a mod b)y2=gcd(b,a mod b);
根据朴素的欧几里德原理有 gcd(a,b)=gcd(b,a mod b);
则:ax1+by1=bx2+(a mod b)y2;
即:ax1+by1=bx2+(a-(a/b)*b)y2=ay2+bx2-(a/b)*by2;
根据恒等定理得：
x1=y2;
y1=x2-(a/b)*y2;
这样我们就得到了求解 x1,y1 的方法：x1，y1 的值基于 x2，y2.
上面的思想是以递归定义的，因为 gcd 不断的递归求解一定会有个时候 b=0，所以递归可以结束。
a
x+b
y=gcd(a,b);
一定能求出来多组 x,y;
(其中 a,b 为整数，求出来的解 x,y 也为整数）
代码：
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d) // &x 是C++ 中的引用
{ // d 代表的是 gcd(a,b);
if(b==0){
x=1;
y=0;
d=a;
}
else{
ex_gcd(b,a%b,x,y,d); // 循环调用该函数
// 类似于求最大公约数，gcd(a,b)==gcd(b,a%b);
t=y; // 先把 y（刚求出来的）记录下来
y=x-(a/b)*y; // 求得是原本刚开始式子中的 y( 根据上边证明求解）
x=t;
}
}
或者是：
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d)
{
if(b==0){
x=1;
y=0;
d=a;
}
else{
ex_gcd(b,a%b,x,y,d);
t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
}
}
或者是：
int ex_gcd(int a,int b,int &x,int &y)
{
if(b==0){
x=1;
y=0;
return a;
}
int r= ex_gcd(b,a%b,x,y);
t=x;
x=y;
y=t-(a/b)*y;
return r;
}