本文主要学习《微积分B》第7章——“定积分的概念和存在条件”，结合课程中的知识进行一些扩展，并用Python辅助求解课后练习题。关于定积分（Definite Integral）的概念，课本中只介绍了“黎曼积分”（Riemann Integral），而wiki上对定积分的介绍更全面：
Integral-Wikipedia
。此外，再介绍一个好玩的数学知识讲解网站：
Math is fun
，它上面对
Integration
和
Definite Integral
进行了非常形象的讲解，值得一看。
- 黎曼积分
- 矩形逼近法
- “可积”的条件
- 速度表与里程表
-
练习题解答
一、知识点
1，
Riemann Integral
Riemann积分是从求曲线在某区间内与x轴围成的区域的面积出发，分为五个步骤推演出来的。这五个步骤分别是（详见
Integral-Wikipedia
）：
1）分割
如上图所示，将区间[a, b]“
任意
”分割成n份。其中，
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
<
.
.
.
<
x
n
−
1
<
x
n
=
b
a = x 0 < x 1 < x 2 < . . . < x n − 1 < x n = b
。分割是
任意的
，从上图也可以看出，各分割区域（
子区间
）并不相等。我们先引入一个描述分割程度的量
λ
=
m
a
x
{
Δ
x
i
}
λ = m a x { Δ x i }
，其中，
Δ
x
i
Δ x i
表示各子区间的大小。
2）取点
在各子区间上任取一点，如上图所示，有些点取在子区间的左端点（
x
∗
1
,
x
∗
5
x 1 ∗ , x 5 ∗
），有些点取在子区间的右端点（
x
∗
2
,
x
∗
3
x 2 ∗ , x 3 ∗
），有些取在任意中间点（
x
∗
4
x 4 ∗
）。需要注意的是：Riemann积分的推演，在分割和取点时，都是任意的。网上很多图片都没有真正反映这两个“任意性”，要么分割时进行的是等分，要么取点只取左端点或右端点。这张图是我难得才找到的，能够很好反映这两个“任意性”的图。
3）近似
在计算各子区间所围成的面积时，将它近似地当作一个
{
h
e
i
g
h
t
:
f
(
ξ
i
)
,
w
i
d
t
h
:
Δ
x
i
}
{ h e i g h t : f ( ξ i ) , w i d t h : Δ x i }
的矩形。这就是“矩形逼近”法。为什么能够这样近似，后面我将给出一个“粗略的证明”。
4）取极限，求和
lim
λ
→
0
+
∑
i
=
0
n
[
f
(
ξ
i
)
∗
Δ
x
i
]
=
∫
b
a
f
(
x
)
d
x
lim λ → 0 + ∑ i = 0 n [ f ( ξ i ) ∗ Δ x i ] = ∫ a b f ( x ) d x
取极限，求黎曼和（Riemann Summation），这就是Riemann积分的定义。事实上，积分符
∫
∫
就是来自“
Summation
”的首字母。
5）证明“极限值与分割的任意性和取点的任意性无关”
这个证明其实非常重要，只有保证“这个极限值与分割的任意性和取点的任意性无关”，才能说“这个极限值等于函数f(x)在区间[a, b]的定积分”。当然，要直接去证明“任意性”是很难的，因此，后面将给出一个“可积”的定理。
2，“矩形逼近”
现在，我来粗略地证明“为什么可以用矩形来近似各子区间围成的面积”，即证明“矩形逼近”的合理性。这个证明的过程，我把它分为两步：
1）“梯形近似”
在前面讲“函数微分的定义”（
The definition of ‘Differential’
，详见《微积分B》4-2节）的时候，提到：
曲线f(x)在
x
0
x 0
的邻域内可以用点
(
x
0
,
f
(
x
0
)
)
( x 0 , f ( x 0 ) )
的切线来近似，（
Linear Approximation
）
，事实上，这就是
“一阶Taylor公式”
近似。
如果我们把每个子区间的曲线段都用它在该区间上任意一点的切线来近似替代，每个子区间所在区域就变成了“梯形”（Trapeziod），这就是“梯形近似”。更通过更精确地描述来计算这种近似的误差。
Δ
y
=
f
′
(
x
)
Δ
x
+
O
[
(
Δ
x
)
2
]
Δ y = f ′ ( x ) Δ x + O [ ( Δ x ) 2 ]
其中误差（error）
ϵ
=
O
[
(
Δ
x
)
2
]
ϵ = O [ ( Δ x ) 2 ]
。而每个子区间的面积
Δ
S
i
Δ S i
与
Δ
y
Δ y
是一次线性关系，即
Δ
S
i
∼
Δ
y
Δ S i ∼ Δ y
，因此，梯形近似后，个子区域面积的误差
ϵ
i
=
ϵ
=
O
[
(
Δ
x
)
2
]
ϵ i = ϵ = O [ ( Δ x ) 2 ]
。
而总面积
S
=
∑
S
i
S = ∑ S i
，那么总面积的误差
ϵ
S
=
n
∗
ϵ
i
=
1
Δ
x
∗
O
[
(
Δ
x
)
2
]
=
O
(
Δ
x
)
ϵ S = n ∗ ϵ i = 1 Δ x ∗ O [ ( Δ x ) 2 ] = O ( Δ x )
注：这里为了方便计算，假设子区域误差是相等的。
所以，当
Δ
x
→
0
Δ x → 0
时，
ϵ
S
→
0
ϵ S → 0
，即误差趋于0。
2）矩形近似等于梯形近似
梯形面积计算公式和矩形面积公式分别是：
S
t
i
=
a
+
b
2
∗
Δ
x
i
,
S
r
i
=
f
(
ξ
i
)
∗
Δ
x
i
S t i = a + b 2 ∗ Δ x i , S r i = f ( ξ i ) ∗ Δ x i
为了简化计算，我只取左端点，计算两种近似之间的误差如下：
S
t
i
=
a
+
b
2
∗
Δ
x
i
=
[
f
(
x
i
−
1
)
+
d
y
i
2
]
∗
Δ
x
i
=
[
f
(
x