一.直线和线段
设
为
空间中的两个点。
直线：
线段：
二.仿射集（Affine Set）凸集（Convex Set）和锥（Cones）
仿射集
仿射集
：通过集合
中任意两个不同点的
直线
仍然在集合C中，则集合C是仿射的。即
也可以理解为C包含了C中任意两点的系数之和为1的线性组合。
仿射组合
：把具有
形式的点称为
的仿射组合，其中
。
仿射集推广：
一个仿射集合包含其中任意点的仿射组合。
仿射集的例子：
直线
平面
超平面
凸集
凸集：
集合C中任意两点间的
线段
任然在C中，那么集合C便是凸集，即
凸组合
：称点
为点
的一个凸组合，其中
，且
凸集推广：
一个集合是凸集等价于集合包含其中所有点的凸组合。
例子：
（最左边是凸集，右边两个不是凸集，很简单，找出两个点，看看其线段是不是有不在集合上面就行了。）
仿射集合凸集关系：
因为仿射集的条件比凸集的条件强，所以仿射集必然是凸集
。\
锥
锥：
对于任意的
和
都有
，那么就称集合C是是锥，即，
锥的例子：
（过原点的射线，射线族，角）
凸锥：
集合C既是凸集又是锥，即对于任意
和
都有
锥组合（非负线性组合）：
称点
为点
的一个锥组合，其中
三.仿射包、凸包和锥包
仿射包：
由集合
中的点的
所有仿射组合组成的集合
为C的仿射包，记为aff C：
也可以说，仿射包是包含C的最小的仿射集合。
仿射维数：
集合C的仿射维数为其仿射包的维数
。
三角形的仿射维数为2
线段的仿射维数为1
球的仿射维数为3
凸包：
集合C中
所有点的凸组合的集合
称为凸包，记为conv C：
也就是说集合C的凸包是能够包含C的最小的凸集。
锥包：
集合C的锥包是
C中元素的所有锥组合的集合
。
也就是说，是包含集合C的最小凸锥。（如下图两个集合的锥包）
