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| 欧 式 空 间 | 第
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篇 文 章 |
作者： Daniel
施密特正交化公式在用正交矩阵化二次型为标准形中有重要的应用。学过的同学都反映这个公式不太好记。本文用三幅图形教你记忆这个公式。
施密特正交化的定义
在n为欧式空间中，利用一组线性无关的向量
, 构造一组两两正交的单位向量组的过程叫做施密特正交化，它包括正交化和单位化两个步骤。
由于将一个向量化为单位向量很容易，只要除以它的长度即可，所以本文只谈正交化步骤。
三幅图形
一般的n维欧式空间中的施密特正交化公式与
中的公式有相同的形式，所以，可以用
中公式的几何意义来帮助记忆此公式。
如图1，将向量
投影到向量
上的投影向量 ，记为
, 其公式在“投影向量计算公式的推导”一文中有详细介绍，请参阅。请大家先记住下面这个投影向量公式：
这里
表示这两个向量的内积，在
中就是点乘。
如图2，第一步：令
第二步：计算
,使得
如图2， 取
, 将它投影到
得到投影向量
,即图中红色的水平向量，由图中的三角形法则知，
，就是与
垂直的向量。于是,
第三步：现在来求
, 如图3， 将刚才求出的
放在水平平面上，现在添加向量
，它必不在水平平面上。图3告诉我们，用
减去它分别向
投影的投影向量得到
所以，
类比这个结构，当我们得到两两正交的向量组
后，要求
，使得它与前面的各
正交，只要添加向量
, 并用它减去它分别向
投影的投影向量
即得到
，所以，
本文公式采用【upub编辑器】,请关注【编辑之谈】公众号！
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