
矩阵分解
是寻求矩阵在各种意义下的分解形式,就像代数中的因数分解,多项式中的因式分解;如
;我们根据各种分解式的特征,可以得到原矩阵的某些性质,常见的矩阵分解如满秩分解,
分解,
分解,奇异值分解等等,将一个矩阵分解为多个形式简单的矩阵,也便于理解矩阵的根本性质,使用简单的矩阵也更易于进行计算,对矩阵进行分解,就像降维打击,在许多情况下,颇有效果。
鉴于此,今天我们来讨论矩阵的另外一种分解——秩一分解,“秩一分解”这个名词是自己瞎取得,不过用来形容矩阵的这种分解形式却是极好的。
证明:秩为
的矩阵可以表示为
个秩为1的矩阵之和,但是不能表示为少于
个秩为1的矩阵之和。
证明:由相抵标准型理论可得,存在非异矩阵
,使得
从而
显然
现反设