实对称矩阵的性质_矩阵的秩一分解

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矩阵分解


是寻求矩阵在各种意义下的分解形式,就像代数中的因数分解,多项式中的因式分解;如

;我们根据各种分解式的特征,可以得到原矩阵的某些性质,常见的矩阵分解如满秩分解,

分解,

分解,奇异值分解等等,将一个矩阵分解为多个形式简单的矩阵,也便于理解矩阵的根本性质,使用简单的矩阵也更易于进行计算,对矩阵进行分解,就像降维打击,在许多情况下,颇有效果。

鉴于此,今天我们来讨论矩阵的另外一种分解——秩一分解,“秩一分解”这个名词是自己瞎取得,不过用来形容矩阵的这种分解形式却是极好的。



证明:秩为

的矩阵可以表示为

个秩为1的矩阵之和,但是不能表示为少于

个秩为1的矩阵之和。

证明:由相抵标准型理论可得,存在非异矩阵


,使得

从而

显然

现反设