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单个总体均值的区间估计和相应的蒙特卡罗模拟
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设想一下这样的场景：现有一大批零件，我们想了解这批零件的某个特性(比如长度)的平均值，该用什么办法呢？如果全部测量将会耗费大量人力物力，现实的做法往往是从中随机抽取少量的零件进行测量，根据获得的样本数据估计总体均值。本文讨论具有类似性质的问题，即如何根据样本观测值估计总体均值。
01
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总体均值的置信区间
大样本
当样本数量n≥30时，该样本可视为大样本。根据中心极限定理，选择标准正态随机变量Z作为枢轴统计量，则总体均值的区间估计方法如下：
在大多数情况下，总体标准差σ是未知的，因此通常使用样本标准差s作为总体标准差的估计量，下同。
小样本
如果样本属于小样本，并且总体近似正态分布，可以使用T统计量做为枢轴统计量，此时总体均值的区间估计方法如下：
注意：对于小样本，当总体严重偏离正态分布时，这种估计方法可能存在偏差，推荐使用其他的估计方法。
02
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蒙特卡罗模拟
小样本估计总体均值
1)总体为正态分布
假设总体是均值为5，方差为1的正态分布，从中随机抽取10个样本，试根据样本观测值求总体均值的95%的置信区间。
①生成随机数(每次试验生成10个观测值，进行100个重复试验)
②根据规则构造总体均值的置信区间，检查成功捕获的区间比例
可以发现，成功捕获总体的区间在95%左右
2)总体为指数分布(严重偏离正态性)
假设总体是均值为5的指数分布，从中随机抽取10个样本，试根据样本观测值求总体均值的95%的置信区间。
①生成随机数
②根据规则构造置信区间，检查成功捕获总体均值的区间比例
从结果来看，成功捕获总体均值的区间比例很可能小于95%
