旋转矩阵的导数
证明
\quad
假设旋转矩阵为
R
(
θ
)
\mathbf{R}(\theta)
R
(
θ
)
，旋转矩阵有
R
R
T
=
I
\mathbf{RR^T}=I
R
R
T
=
I
，即旋转矩阵是正交矩阵。现在
R
\mathbf{R}
R
对
θ
\mathbf{\theta}
θ
求导数：
[
d
d
θ
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
+
R
(
θ
)
[
d
d
θ
R
(
θ
)
T
]
=
0
\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)\right] \mathrm{R}(\theta)^{\mathrm{T}}+\mathrm{R}(\theta)\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)^{\mathrm{T}}\right]=0
[
d
θ
d
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
+
R
(
θ
)
[
d
θ
d
R
(
θ
)
T
]
=
0
\quad
令
S
=
[
d
d
θ
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
S=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)\right] \mathrm{R}(\theta)^{\mathrm{T}}
S
=
[
d
θ
d
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
，则：
S
+
S
T
=
0
\mathbf{S}+\mathbf{S^T}=0
S
+
S
T
=
0
\quad
即：
S
=
−
S
T
\mathbf{S}=-\mathbf{S^T}
S
=
−
S
T
\quad
即
S
S
S
是一个反对陈矩阵。由
S
=
[
d
d
θ
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
S=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)\right] \mathrm{R}(\theta)^{\mathrm{T}}
S
=
[
d
θ
d
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
两边同时右乘
R
(
θ
)
\mathbf{R(\theta)}
R
(
θ
)
，则：
d
d
θ
R
(
θ
)
=
S
R
(
θ
)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta) =S\ \mathrm{R}(\theta)
d
θ
d
R
(
θ
)
=
S
R
(
θ
)
\quad
此时，可以总结一下关于
R
R
R
的导数，对
R
R
R
求导相当于在原来的基础上右乘了个反对陈矩阵，而我们则关系这个反对陈矩阵的具体形式到底是什么。例如在
IMU
系统中对
R
R
R
求导后得到的是
d
d
θ
R
(
θ
)
=
S
(
w
)
R
(
θ
)
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)=S(w)R(\theta)
d
θ
d
R
(
θ
)
=
S
(
w
)
R
(
θ
)
，即
w
w
w
的反对称矩阵乘以
R
R
R
。
\quad
下面以具体的例来进行说明：
\quad
例如，
R
R
R
为绕着
X
X
X
轴旋转的旋转矩阵，即：
R
(
θ
)
=
[
1
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
]
\begin{array}{c} \mathrm{R}(\theta)=\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right] \\ \end{array}
R
(
θ
)
=
⎣
⎡
1
0
0
0
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
⎦
⎤
\quad
其中
R
R
R
是关于
θ
\theta
θ
的函数，
R
R
R
对
θ
\theta
θ
的导数乘以
R
T
R^T
R
T
即得到
S
S
S
S
=
[
d
d
θ
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
=
[
0
0
0
0
−
sin
θ
−
cos
θ
0
cos
θ
−
sin
θ
]
⋅
[
1
0
0
0
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
]
=
[
0
0
0
0
0
−
1
0
1
0
]
\mathrm{S}=\left[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}(\theta)\right] \mathrm{R}(\theta)^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & -\cos \theta \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & \sin \theta \\ 0 & -\sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \\
S
=
[
d
θ
d
R
(
θ
)
]
R
(
θ
)
T
=
⎣
⎡
0
0
0
0
−
sin
θ
cos
θ
0
−
cos
θ
−
sin
θ
⎦
⎤
⋅
⎣
⎡
1
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
⎦
⎤
=
⎣
⎡
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
⎦
⎤
\quad
进而通过刚刚推倒出的导数的形式，可以得到绕着
X
X
X
轴旋转的旋转矩阵
R
R
R
的导数为：
d
d
θ
R
=
S
R
(
θ
)
=
[
0
0
0
0
0
−
1
0
1
0
]
⋅
[
1
0
0
0
cos
θ
−
sin
θ
0
sin
θ
cos
θ
]
=
[
0
0
0
0
−
sin
θ
−
cos
θ
0
cos
θ
−
sin
θ
]
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} \theta} \mathrm{R}=\mathrm{SR}(\theta)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \\ 0 & 1 & 0 \end{array}\right] \cdot\left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 0 \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0 \\ 0 & -\sin \theta & -\cos \theta \\ 0 & \cos \theta & -\sin \theta \end{array}\right]
d
θ
d
R
=
SR
(
θ
)
=
⎣
⎡
0
0
0
0
0
1
0
−
1
0
⎦
⎤
⋅
⎣
⎡
1
0
0
0
cos
θ
sin
θ
0
−
sin
θ
cos
θ
⎦
⎤
=
⎣
⎡
0
0
0
0
−
sin
θ
cos
θ
0
−
cos
θ
−
sin
θ
⎦
⎤
\quad
进一步，如果
θ
\theta
θ
也是关于时间
t
t
t
的导数，即
θ
(
t
)
\theta (t)
θ
(
t
)
，那么在之前的基础上，进一步可得：
R
˙
=
d
R
d
t
=
d
R
d
θ
d
θ
d
t
=
S
R
θ
˙
=
θ
˙
S
R
=
S
(
ω
(
t
)
)
R
\dot{\mathrm{R}}=\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{dt}}=\frac{\mathrm{dR}}{\mathrm{d} \theta} \frac{\mathrm{d} \theta}{\mathrm{dt}}=\mathrm{SR} \dot{\theta}=\dot{\theta} \mathrm{SR}=\mathrm{S}(\omega(\mathrm{t})) \mathrm{R}
R
˙
=
dt
dR
=
d
θ
dR
dt
d
θ
=
SR
θ
˙
=
θ
˙
SR
=
S
(
ω
(
t
))
R
\quad
其中
S
(
w
(
t
)
)
S(w(t))
S
(
w
(
t
))
为反对陈矩阵，
w
(
t
)
w(t)
w
(
t
)
为角速度。
补充
-
反对陈矩阵
向量
a=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
T
a=(a_x,a_y,a_z)^{T}
a
=
(
a
x
,
a
y
,
a
z
)
T
则其对应的反对陈矩阵为
S(
a
)
=
[
0
−
a
z
a
y
a
z
0
−
a
x
−
a
y
a
x
0
]
\begin{array}{c} \mathrm{S}(a)=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -a_z & a_y \\ a_z & 0 & -a_x \\ -a_y & a_x & 0 \end{array}\right] \\ \end{array}
S
(
a
)
=
⎣
⎡
0
a
z
−
a
y
−
a
z
0
a
x
a
y
−
a
x
0
⎦
⎤
-
性质
-
S(
α
a
+
β
b
)
=
α
S
(
a
)
+
β
S
(
b
)
\mathrm{S}(\alpha \mathrm{a}+\beta \mathrm{b})=\alpha \mathrm{S}(\mathrm{a})+\beta \mathrm{S}(\mathrm{b})
S
(
α
a
+
β
b
)
=
α
S
(
a
)
+
β
S
(
b
)
-
S(
a
)
b
=
a
×
b
\mathrm{S}(\mathrm{a}) \mathrm{b}=\mathrm{a} \times \mathrm{b}
S
(
a
)
b
=
a
×
b
-
R(
a
×
b
)
=
R
(
a
)
×
R
(
b
)
R(a \times b)=R(a) \times R(b)
R
(
a
×
b
)
=
R
(
a
)
×
R
(
b
)
-
RS
(
a
)
R
T
=
S
(
R
a
)
R S(a) R^{T}=S(R a)
RS
(
a
)
R
T
=
S
(
R
a
)
其中
RR
R
是
33
3
阶矩阵,
aa
a
和
bb
b
是向量,
α\alpha
α
和
β\beta
β
是常数。
-