定义一种集合乘法
X
Y
=
{
x
y
∣
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
XY=\{xy|x\in X,y\in Y\}
X
Y
=
{
x
y
∣
x
∈
X
,
y
∈
Y
}
.
那么我们可以看见若
H
⩽
G
H\leqslant G
H
⩽
G
,则
H
H
=
{
h
h
′
∣
h
,
h
′
∈
H
}
=
{
h
∣
h
∈
H
}
=
H
HH=\{hh'|h,h'\in H\}=\{h|h\in H\}=H
H
H
=
{
h
h
′
∣
h
,
h
′
∈
H
}
=
{
h
∣
h
∈
H
}
=
H
.
特别的,若集合中只有一个元素,那么可以这么写
{
a
}
H
=
a
H
=
{
a
h
∣
h
∈
H
}
\{a\}H=aH=\{ah|h\in H\}
{
a
}
H
=
a
H
=
{
a
h
∣
h
∈
H
}
.
现在我们可以用这种乘法书写了.
Theorem 1
\text{Theorem 1 }
Theorem 1
H
◃
G
H\triangleleft G
H
◃
G
,当且仅当
g
H
=
H
g
gH=Hg
g
H
=
H
g
.
证明:
H
=
g
−
1
H
g
H=g^{-1}Hg
H
=
g
−
1
H
g
,显然正规子群的共轭仍然是原来的正规子群.
Lemma
\text{Lemma }
Lemma
若
H
◃
G
H\triangleleft G
H
◃
G
,那么任意集合在集合乘法中与
H
H
H
可交换.
Definition
定
义
G
/
H
=
{
a
H
∣
a
∈
G
}
,
其
中
H
◃
G
.
\text{Definition }定义G/H=\{aH|a\in G\},其中H\triangleleft G.
Definition
定
义
G
/
H
=
{
a
H
∣
a
∈
G
}
,
其
中
H
◃
G
.
Theorem 2
G
/
H
\text{Theorem 2 }G/H
Theorem 2
G
/
H
是群,称作商群.
H
H
H
是
G
/
H
G/H
G
/
H
的幺元,
a
H
aH
a
H
的逆元是
a
−
1
H
a^{-1}H
a
−
1
H
,若
a
H
,
b
H
∈
G
/
H
,
aH,bH\in G/H,
a
H
,
b
H
∈
G
/
H
,
那么
a
H
b
H
=
a
b
H
H
=
(
a
b
)
H
∈
G
/
H
aHbH=abHH=(ab)H\in G/H
a
H
b
H
=
a
b
H
H
=
(
a
b
)
H
∈
G
/
H
,也容易验证结合律,从而
G
/
K
G/K
G
/
K
是群.
显然
G
/
H
G/H
G
/
H
的每一个元素都是群
G
G
G
的一个陪集,由拉格朗日定理商群的阶
[
G
:
H
]
=
∣
G
∣
∣
H
∣
\displaystyle [G:H]=\frac{|G|}{|H|}
[
G
:
H
]
=
∣
H
∣
∣
G
∣
.
Example
\text{Example }
Example
Z
/
<
m
>
=
Z
m
Z/\left<m\right>=Z_m
Z
/
⟨
m
⟩
=
Z
m
.
Theorem 3
\text{Theorem 3 }
Theorem 3
正规子群与某个群同态的核一一对应.
证明:设正规子群
K
◃
G
K\triangleleft G
K
◃
G
,定义自然映射
π
:
G
→
G
/
K
g
↦
g
K
\pi:\begin{array}{ccc} G&\to&G/K\\ g&\mapsto&gK \end{array}
π
:
G
g
→
↦
G
/
K
g
K
显然
ker
π
=
{
π
(
g
)
=
g
K
=
K
}
=
K
\ker \pi=\{\pi(g)=gK=K\}=K
ker
π
=
{
π
(
g
)
=
g
K
=
K
}
=
K
,下面定理给出必要性.
Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)
\text{Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,群同构第一定理)}
Theorem 4 (First Isomorphism Theorem,
群同构第一定理
)
如果
f
:
G
→
H
f:G\to H
f
:
G
→
H
是一个群同态,那么
ker
f
◃
G
\ker f\triangleleft G
ker
f
◃
G
且
G
/
ker
f
≅
i
m
f
G/\ker f\cong \mathrm{im} f
G
/
ker
f
≅
i
m
f
.
证明:由
ker
f
\ker f
ker
f
的性质,若
g
∈
ker
f
g\in\ker f
g
∈
ker
f
,则
f
(
g
)
=
e
f(g)=e
f
(
g
)
=
e
,于是
f
(
h
−
1
g
h
)
=
f
−
1
(
h
)
e
f
(
h
)
=
e
f(h^{-1}gh)=f^{-1}(h)ef(h)=e
f
(
h
−
1
g
h
)
=
f
−
1
(
h
)
e
f
(
h
)
=
e
,从而
ker
f
◃
G
\ker f\triangleleft G
ker
f
◃
G
.
i
m
f
\mathrm{im}f
i
m
f
显然是一个群,群同构第一定理现在在说这样一件事,
f
f
f
是同态,那么
f
=
f
∗
∘
π
=
π
f
∗
f=f^*\circ\pi =\pi f^*
f
=
f
∗
∘
π
=
π
f
∗
,即把
f
f
f
分解为核的商群和一个新映射,则这个映射是同构.
Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)
\text{Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,群同构第二定理)}
Theorem 5 (Second Isomorphism Theorem,
群同构第二定理
)
如果
K
◃
G
K\triangleleft G
K
◃
G
,则任意一个
H
⩽
G
H\leqslant G
H
⩽
G
有
H
K
⩽
G
,
H
∩
K
◃
G
HK\leqslant G,H\cap K\triangleleft G
H
K
⩽
G
,
H
∩
K
◃
G
,此时有
H
/
(
H
∩
K
)
≅
H
K
/
K
H/(H\cap K)\cong HK/K
H
/
(
H
∩
K
)
≅
H
K
/
K
证明:显然
H
∩
K
⩽
K
H\cap K\leqslant K
H
∩
K
⩽
K
,再有正规子群的子群仍然是正规子群.而
K
◃
H
K
K\triangleleft HK
K
◃
H
K
的证明的平凡的.
我们发现
H
K
/
K
HK/K
H
K
/
K
其实上就是
{
h
K
∣
h
∈
H
}
\{hK|h\in H\}
{
h
K
∣
h
∈
H
}
.
由定理三,存在一个自然同态
π
\pi
π
的核是
K
K
K
,对核做在
H
H
H
集合上的限制得到一个新的自然映射
π
′
:
H
→
H
/
(
H
∩
K
)
\pi':H\to H/(H\cap K)
π
′
:
H
→
H
/
(
H
∩
K
)
,那么
i
m
π
′
=
H
K
/
K
\mathrm{im} \pi'=HK/K
i
m
π
′
=
H
K
/
K
,从而由群同构第一定理
H
/
(
H
∩
K
)
≅
H
K
/
K
H/(H\cap K)\cong HK/K
H
/
(
H
∩
K
)
≅
H
K
/
K
.
限制这个名词比较奇妙,思考一会我们可以观察到群同构第二定理和第一定理之间的关系.
群同构第一定理的特例是
G
/
K
=
{
x
K
∣
x
∈
G
}
=
G
/
K
G/K=\{xK|x\in G\}=G/K
G
/
K
=
{
x
K
∣
x
∈
G
}
=
G
/
K
,
而群同构第二定理是
(
G
∩
H
)
/
(
K
∩
H
)
=
H
/
(
H
∩
K
)
=
{
x
K
∣
x
∈
G
∩
H
}
=
{
x
K
∣
x
∈
H
}
=
H
K
/
K
(G\cap H) /(K\cap H)=H/(H\cap K)=\{xK|x\in G\cap H\}=\{xK|x\in H\}=HK/K
(
G
∩
H
)
/
(
K
∩
H
)
=
H
/
(
H
∩
K
)
=
{
x
K
∣
x
∈
G
∩
H
}
=
{
x
K
∣
x
∈
H
}
=
H
K
/
K
,恰是
G
G
G
上的一个商群导出了
H
⩽
G
H\leqslant G
H
⩽
G
上的一个商群.
Lemma
\text{Lemma }
Lemma
两侧由拉格朗日定理可以得到一个很有用的公式
[
H
:
H
∩
K
]
=
[
H
K
:
K
]
,
∣
H
∣
∣
K
∣
=
∣
H
K
∣
∣
H
∩
K
∣
[H:H\cap K]=[HK:K],|H||K|=|HK||H\cap K|
[
H
:
H
∩
K
]
=
[
H
K
:
K
]
,
∣
H
∣
∣
K
∣
=
∣
H
K
∣
∣
H
∩
K
∣
.
Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)
\text{Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,群同构第三定理)}
Theorem 6.1 (Correspondence Theorem,
群同构第三定理
)
设
K
◃
G
K\triangleleft G
K
◃
G
,那么设
S
u
b
(
G
;
K
)
=
{
X
∣
K
⊂
X
⩽
G
}
\mathrm{Sub}(G;K)=\{X|K\subset X\leqslant G\}
S
u
b
(
G
;
K
)
=
{
X
∣
K
⊂
X
⩽
G
}
,则所有这样的子群和
G
/
K
G/K
G
/
K
的子群有一个一一对应的关系.
证明:定义一个显然的映射:
Φ
:
S
u
b
(
G
;
K
)
→
S
u
b
(
G
/
K
;
∅
)
S
↦
S
/
K
\Phi:\begin{array}{ccc} \mathrm{Sub}(G;K)&\to&\mathrm{Sub}(G/K;\varnothing)\\ S&\mapsto&S/K \end{array}
Φ
:
S
u
b
(
G
;
K
)
S
→
↦
S
u
b
(
G
/
K
;
∅
)
S
/
K
首先
Φ
\Phi
Φ
是一个单射,如果
K
⩽
S
⩽
G
K\leqslant S\leqslant G
K
⩽
S
⩽
G
,那么
(
π
−
1
∘
π
)
(
S
)
=
S
(\pi^{-1}\circ \pi)(S)=S
(
π
−
1
∘
π
)
(
S
)
=
S
.
首先对于每一个
s
∈
S
s\in S
s
∈
S
,
π
(
s
)
=
s
K
∈
S
/
K
\pi (s)=sK\in S/K
π
(
s
)
=
s
K
∈
S
/
K
,显然
s
∈
π
−
1
(
s
K
)
s\in \pi^{-1}(sK)
s
∈
π
−
1
(
s
K
)
,从而
S
⊂
(
π
−
1
∘
π
)
(
S
)
S\subset(\pi^{-1}\circ\pi)(S)
S
⊂
(
π
−
1
∘
π
)
(
S
)
.
其次对于每一个
a
∈
π
−
1
π
S
a\in \pi^{-1}\pi S
a
∈
π
−
1
π
S
,有
π
(
a
)
=
s
K
\pi(a)=sK
π
(
a
)
=
s
K
,对于某一个
s
∈
S
s\in S
s
∈
S
,从而有某一个
k
∈
K
k\in K
k
∈
K
,
s
k
=
a
sk=a
s
k
=
a
,但因为
K
⩽
S
⩽
G
K\leqslant S\leqslant G
K
⩽
S
⩽
G
,于是
a
∈
S
a\in S
a
∈
S
.
所以如果
π
(
S
)
=
π
(
T
)
\pi(S)=\pi(T)
π
(
S
)
=
π
(
T
)
.那么
S
=
T
S=T
S
=
T
,从而
Φ
\Phi
Φ
是单射(
Φ
\Phi
Φ
也是一个自然映射的集合形式).
其次
Φ
\Phi
Φ
是一个满射,如果
K
⩽
S
⩽
G
K\leqslant S\leqslant G
K
⩽
S
⩽
G
,那么
(
π
∘
π
−
1
)
(
S
/
K
)
=
S
/
K
(\pi \circ \pi^{-1})(S/K)=S/K
(
π
∘
π
−
1
)
(
S
/
K
)
=
S
/
K
.
首先对于每一个
s
∈
S
,
有
s
K
∈
S
/
K
,
s
∈
π
−
1
(
s
K
)
,
π
(
s
)
=
s
K
∈
S
/
K
s\in S,有sK\in S/K,s\in\pi^{-1}(sK),\pi(s)=sK\in S/K
s
∈
S
,
有
s
K
∈
S
/
K
,
s
∈
π
−
1
(
s
K
)
,
π
(
s
)
=
s
K
∈
S
/
K
,从而
S
/
K
⊂
(
π
∘
π
−
1
)
(
S
/
K
)
S/K\subset (\pi \circ \pi^{-1})(S/K)
S
/
K
⊂
(
π
∘
π
−
1
)
(
S
/
K
)
.
其次对于每一个
a
K
∈
π
π
−
1
S
/
K
aK\in \pi\pi^{-1} S/K
a
K
∈
π
π
−
1
S
/
K
,有
A
=
A
1
∪
A
2
=
π
−
1
(
a
K
)
A=A_1\cup A_2=\pi^{-1}(aK)
A
=
A
1
∪
A
2
=
π
−
1
(
a
K
)
,其中
A
1
⊂
S
A_1\subset S
A
1
⊂
S
,
A
2
∩
S
=
∅
A_2\cap S=\varnothing
A
2
∩
S
=
∅
.容易证明
A
2
=
∅
A_2=\varnothing
A
2
=
∅
,从而显然
π
π
−
1
S
/
K
⊂
S
/
K
\pi\pi^{-1} S/K\subset S/K
π
π
−
1
S
/
K
⊂
S
/
K
.
从而
Φ
\Phi
Φ
是满射.
由上,所有的子群和
G
/
K
G/K
G
/
K
的子群有一个一一对应的关系.
Theorem 6.2
\text{Theorem 6.2 }
Theorem 6.2
K
⩽
S
⩽
T
⩽
G
K\leqslant S\leqslant T\leqslant G
K
⩽
S
⩽
T
⩽
G
,当且仅当
S
/
K
⩽
T
/
K
S/K\leqslant T/K
S
/
K
⩽
T
/
K
,此时
[
S
:
T
]
=
[
S
/
K
:
T
/
K
]
[S:T]=[S/K:T/K]
[
S
:
T
]
=
[
S
/
K
:
T
/
K
]
.
K
◃
S
◃
T
◃
G
K\triangleleft S\triangleleft T\triangleleft G
K
◃
S
◃
T
◃
G
,当且仅当
S
/
K
◃
T
/
K
S/K\triangleleft T/K
S
/
K
◃
T
/
K
,此时
S
/
T
≅
(
S
/
K
)
/
(
T
/
K
)
S/T\cong (S/K)/(T/K)
S
/
T
≅
(
S
/
K
)
/
(
T
/
K
)
.
证明:略.