最短路径问题
Dijkstra算法
（读者可以将其读作“迪杰斯特拉算法”)用来解决单源最短路问题，即给定图G和起点s，通过算法得到S到达其他每个顶点的最短距离。
Dijkstra 的基本思想是对图G(V,E)设置集合S，存放已被访问的顶点，然后每次从集合V-S中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点（记为u)，访问并加入集合S。之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u能到达的顶点v之间的最短距离。这样的操作执行n次(n为顶点个数)，直到集合S已包含所有顶点。
为了让算法的过程有更有画面感，下面将举一个形象的例子，希望读者能通过这个例子对Dijkstra算法的流程有较为清晰的把握，以降低编写代码的难度。
在世界的另一端，有一个美丽富饶的精灵大陆，那里存在着六个城市，城市中生存着许多小精灵。一开始，这个大陆和平安详，没有纷宇，但定月一人，心而咱万力心m文式x时治了这片大陆，并把大陆中的六个城市用黑暗力量染成了黑色，精灵们感到十分恐惧。这时，光明之神派遣一只被称为“番长狮子”(名字叫“亚历山大”，见图10-26）的英雄带领军队前往解救(“番长”是精灵大陆中一个很厉害的称号，只有实力非常强大的生灵才能拥有)。由于黑暗力量的影响，城市与城市之间只能通过某种特殊通道单向到达(即有向边)，并且一些城市之间无法直接到达（即只能通过其他城巾间按到达)。图10-L0a 足一惘地图口石人城市个城市（编号为从V至Vs）和它们之间存在的有向边（边上的数字表示距离)，且每个城市都被污染成了黑色（表示该城市暂时没有被解救)。亚历山大在研究地图后决定从V开始对六个城市的敌人发起进攻，且每成功攻下一个城市，就用光明之力让城市中的黑暗消散，并把带来的部队驻扎在城市中，以防黑暗势力攻回，自己则通过魔法重新回到V，带领新的部队攻打下一个城市。为了减少消耗，亚历山大希望每次从起点V到达需要攻占的城市之间的路程尽可能短，即从起点到达其他所有顶点都必须是最短距离。
此处省略很多，关于这个英雄的争战故事，差不多就是：
首先，Dijkstra算法解决的是单源最短路问题，即给定图G(VE)和起点s(起点又称为源点)，求从起点s到达其它顶点的最短距离。
Dijkstra算法的策略
是:
设置集合S存放已被访问的顶点（即已攻占的城市)，然后执行n次下面的两个步骤(n为顶点个数):
1每次从集合V-S（即未攻占的城市)中选择与起点s的最短距离最小的一个顶点（记为u)，访问并加入集合S(即令其已被攻占)。
②之后，令顶点u为中介点，优化起点s与所有从u能到达的顶点
v之间的最短距离。
Dijkstra 算法的具体实现:
由于Dijkstra算法的策略比较偏重于理论化，因此为了方便编写代码，需要想办法来实现策略中两个较为关键的东西，即集合S的实现、起点s到达顶点V(0≤i≤n-1)的最短距离的实现。
①集合S可以用一个 bool型数组vis[]来实现，即当vis[i]== true时表示顶点V;已被访问，当vis[i]== false时表示顶点V未被访问。
令int型数组d]表示起点s到达顶点V;的最短距离,初始时除了起点s的d[s]赋为0，其余顶点都赋为一个很大的数（初学者可以用1000000000，即 109;稍微懂点二进制编码的话可以使用十六进制0x3ff，但不要使用0x7ff，因为两个这样的数相加可能会超过int的表示范围）来表示inf，即不可达。
从复杂度来看，主要是外层循环O(V)与内层循环（寻找最小的d[u]需要O(V)、枚举v需要O(adj[u].size))产生的。又由于对整个程序来说，枚举v的次数总共为O(2唱) adj[u].size)=O(E),因此总复杂度为o(V2+E)。
可以注意到，上面的做法都是复杂度O(v’)级别的，其中由于必须把每个顶点都标记为已访问，因此外层循环的O(V)时间是无法避免的，但是寻找最小d[u]的过程却可以不必达到O(V)的复杂度，而可以使用堆优化来降低复杂度。最简洁的写法是直接使用STL 中的优先队列priority _queue，这样使用邻接表实现的 Dijkstra算法的时间复杂度可以降为O(VlogV+E)。此外，Dijkstra算法只能应对所有边权都是非负数的情况，如果边权出现负数，那么 Dijkstra算法很可能会出错，这时最好使用 SPFA 算法。
void Dijkstra(int s)//s 为 start起点
{
memset(d,INF,sizeof(d));
d[s] = 0;
for(int i=0;i<n;i++)
{
int u=-1,MIN = INF;
for(int j=0;j<n;j++)
{
if(vis[j]==false &&d[j]<MIN)
{
u = j;
MIN = d[j]; //跟新节点距离
}
}
if(u == -1) return ;
vis[u] = true;
for(int v = 0; v<n;v++)
{
if(vis[v]==false && G[u][v]!=INF && d[u]+G[u][v]<d[v]){
d[v] = d[u]+G[u][v];
}
}
}
}
Dijkstra算法可以很好地解决无负权图的最短路径问题，但如果出现了负权边，Dijkstra 算法就会失效。
Bellman-Ford算法
为了更好地求解有负权边的最短路径问题,需要使用Bellman-Ford算法(简称BF算法)。和Dijkstra算法一样，Bellman-Ford算法可解决单源最短路径问题，但也能处理有负权边的情况。Bellman-Ford 算法的思路简洁直接,易于读者掌握。
现在考虑环，也就是从某个顶点出发、经过若干个不同的顶点之后可以回到该顶点的情况。而根据环中边的边权之和的正负，可以将环分为零环、正环、负环（如图10-40所示,环A→B→C中的边权之和分别为0、正、负)。显然，图中的零环和正环不会影响最短路径的求解，因为零环和正环的存在不能使最短路径更短;而如果图中有负环，且从源点可以到达，那么就会影响最短路径的求解;但如果图中的负环无法从源点出发到达，则最短路径的求解不会受到影响。
与Dijkstra算法相同，Bellman-Ford算法设置一个数组d，用来存放从源点到达各个顶点的最短距离。同时 Bellman-Ford算法返回一个bool值:如果其中存在从源点可达的负环，那么函数将返回false;否则，函数将返回true，此时数组d中存放的值就是从源点到达各顶点的最短距离。
Bellman-Ford 算法的主要思路如下面的伪代码所示。需要对图中的边进行V-1轮操作，每轮都遍历图中的所有边:对每条边u→v，如果以u为中介点可以使d[v]更小，即 d[u]+length[u->v]<d[v]成立时，就用d[u] + length[u->v]更新d[v]。同时也可以看出，Bellman-Ford算法的时间复杂度是O(VE)，其中n是顶点个数，E是边数。
此时，如果图中没有从源点可达的负环，那么数组d中的所有值都应当已经达到最优。
因此，如下面的伪代码所示，只而安丹对从H心风1方1i占可达的负环，返回false;否则，满足d[u]+ length[u->y]<d[v]，如果有，则说明图中有从源点可达的负环，返回 false;否则,说明数组d中的所有值都已经达到最优，返回true。
那么，为什么 Bellman-Ford算法是正确的呢?想要了解完整数学证明的读者可以参考算法导论，下面给出一个简洁直观的证明。
首先，如果最短路径存在，那么最短路径上的顶点个数育足个公超过V个想一怨1么?)。于是，如果把源点s作为一棵树的根结点，把具他结息按照取短路位的以1就会生成一棵最短路径树。图10-41是最短路径树的一个例子。显然，麦R更题各全树Tz_公源点S到达其余各顶点的路径就是原图中对应的最短路径，且原图和源点一旦确定，最短路径树也就确定了。另外，由于最短路径上的顶点个数不超过V，因此最短路径树的层数一定不超过V。
用优先队列做也很不错：
#include<bits/stdc++.h>
//用途 ：单源最短路
//优先队列弹出来的 原来在堆一定比后来弹出；来的大
using namespace std;
vector<vector<int> > d(100);
int dist[100];//标记
int n,m;
void bfs(int cur)
{
queue <int> que;
que.push(cur);
while(!que.empty())
{
int temp=que.front();
que.pop(); //把队首节点出队
if(dist[temp]!=0) continue;
cout<<temp<<endl;
dist[temp]=1;
for(int i=0;i<d[temp].size();i++)
{
if(!dist[d[temp][i]]) //if nor visited
{
que.push(d[temp][i]); //入队
}
}
}
}
int main()
{
cin >> n >> m;
int x, y, w;
for (int i = 0; i < m; ++i) {
scanf("%d%d%d", &x, &y, &w);
d[x].push_back(y);
d[y].push_back(x);
}
for (int i = 0; i < n; ++i) {
cout << i << " -> ";
for (int j = 0; j < d[i].size(); ++j) cout << d[i][j] << " ";
cout << endl;
}
memset(dist, 0, sizeof(dist));
bfs(0);
return 0;
}
Floyd算法
（读者可以将其读作“弗洛伊德算法”)用来解决全源s方的图 G(V,E)，求任意两点u, v之间的最短路在长度，时间复杂度是O(n^3)，管法是非常合适且方决定了顶点数n的限制约在200 以内，因此使用邻接矩阵来实现 Floyd算法是非常合适且方便的。
Floyd算法基于这样一个事实:如果存在顶点k，使得以k作为中介点时顶点i和顶点j的当前最短距离缩短，则使用顶点k作为顶点i和顶点j的中介点，即当dis[i][k] +dis[k][]< dis[i]0]时,令dis[i]] = dis[i][k]+ dis[k]们]（其中 dis[i]i]表示从顶点i到顶点j的最短距离)。如图10-42所示，从V到V4的距离为3，而以V2为中介点时可以使V1到V4的距离缩短为2，那么就把V1到V4的距离从3优化为2,即当dis[1][2] + dis[2][4]<dis[1][4]时，令dis[1][4] = dis[1][2]+ dis[2][4]。
void Floyd(){
for(int k=0;k<n; k++)
{
for(int i=0;i<n; i++)
for(int j= 0;j<n; j++){
if(dis[i][k] !- INF && dis[k][j] != INF && dis[i][k] +dis [k][j]< dis[i][j]){
dis[i][j]=dis[i][k] +dis[kK][jl;//找到更短的路径
}
对Floyd算法来说，需要注意的是:不能将最外层的k循环放到内层（即产生i->j->k的三重循环)，这会导致最后结果出错。理由是:如果当较后访问的dis[u][v]有了优化之后，前面访问的dis[i]i会因为已经被访问而无法获得进一步优化(这里i、j先于u、v进行访问)。