【FMCW 03】测速

从上一讲

测距

末尾的frame讲起。我们知道一个chirp对应了一个采样后的IF信号，我们将这些采样后的IF信号按chirp的次序排列成一个帧（frame），这就得到了我们实际中接收后处理的FMCW信号。

在这里插入图片描述

由于chirp的发射返回时间很短，所以我们称其所在时间维度为

快时间（fast time）维

，而相邻的chirp间存在一个chirp repetition time（CRT）相对较慢，于是我们将其所在时间维度为

慢时间（slow time）维

。借一幅《Soli: Ubiquitous Gesture Sensing with Millimeter》文中的图，可以对raw signal有一个直观的认识。

在这里插入图片描述

相位差的周期性

我们首先对FFT得到的频率谱做一个分析，其分为两部分，幅度部分和相位部分，

幅度部分可以表示此处频率的强弱，相位部分表示的是此频率对应的相位

。那么，对于，对做完range FFT后的frame矩阵而言，其fast time维度就转换成了range维度。

对于在某一个 range bin上的物体，我们已经知道其距离表示为

d_{target} = \frac{c}{2K}f_{peak}

$d_{t a r g e t} = \frac{c}{2 K} f_{p e ak}$

这个距离的解我们知道是通过IF信号中频率部分

2 \pi K \tau

$2 π K τ$

得到的，而我们现在关注其相位部分

2 \pi f_0 \tau

$2 π f_{0} τ$

。

(

)

cos

⁡

(

)

x_{\tiny{IF}}(t) = A \cos(2\pi K\tau t+2\pi f_o \tau )

$x_{I F} (t) = A cos (2 π K τ t + 2 π f_{o} τ)$

由于

\tau = \frac{2d}{c}

$τ = \frac{2 d}{c}$

故相位

\phi

$ϕ$

\phi = 2\pi f_o \frac{2d}{c}=\frac{4\pi f_o}{c}d

$ϕ = 2 π f_{o} \frac{2 d}{c} = \frac{4 π f _{o}}{c} d$

在这里插入图片描述

如果在这个range bin中的物体正在运动，那么每隔一个chirp的周期

CRT

$CRT$

，物体就会发生一个微动位移，而这个微动位移将造成相位较为剧烈的变化，即

⋅

\Delta \phi = \frac{4\pi f_o}{c} \Delta d =\frac{4\pi f_0}{c}v \cdot CRT

$Δ ϕ = \frac{4 π f _{o}}{c} Δ d = \frac{4 π f _{0}}{c} v \cdot CRT$

如果我们将这个

CRT

$CRT$

看作一种采样，那么，对

\phi

$ϕ$

的变化进行分析，将能提取到有效的速度

v

$v$

的信息，这也正是我们采用frame传输的原因——获得速度信息。

这种视角先按下不表，最后再述。

在这里插入图片描述

我们也可

将这个过程看作是相位差的周期性运动，那么我们对其进行FFT分析，也将得到这个周期性的相位差信息

。

进一步转换到速度维，就有

⋅

v = \frac{c}{4\pi f_o \cdot CRT}\Delta \phi =\frac{\lambda}{4 \pi \cdot CRT}\Delta \phi

$v = \frac{c}{4 π f _{o} \cdot CRT} Δ ϕ = \frac{λ}{4 π \cdot CRT} Δ ϕ$

于是我们要做的Doppler FFT 或者说 Velocity FFT即是取出Range FFT某个range bin对应的一列slow time数据进行FFT。

在这里插入图片描述

多普勒效应

那么问题来了，为什么叫Doppler FFT呢？在基本的物理学中，我们曾学习过基本的多普勒效应。举一个生活中的例子，你在街上听到一辆警车向你呼啸而来，你听到警笛的声音是越来越急的（这对应的即是声波的频率越来越高），而当警车越来越远时，你听的警笛是越来越疏的（这对应的即是声波的频率越来越低）。

在这里，我们用一个移动通信中描述移动台所造成的多普勒频偏公式（见Rappaport书中的123页），即

cos

⁡

f_d = \frac{v}{\lambda}\cos \theta

$f_{d} = \frac{v}{λ} cos θ$

在FMCW雷达考虑的场景中，取径向速度，即

⁡

\cos \theta = 1

$cos θ = 1$

，同时由于电波一发一收，于是造成的

f_d

$f_{d}$

为

f_d = 2\frac{v}{\lambda}

$f_{d} = 2 \frac{v}{λ}$

进一步代入 v 的公式转换为

⋅

f_d = \frac{\Delta \phi}{2 \pi \cdot CRT}

$f_{d} = \frac{Δ ϕ}{2 π \cdot CRT}$

值得指出的是，主频率部分亦会由于物体的运动产生频偏。

但当物体的距离d发生微小的变化时，IF signal 信号的相位变化非常明显，而频率的变化并不显著，远远达不到在CRT的时间内，区分信号的频率。

即

相位变化对微动位移有着敏感性

。

我们不如用TI教程中的例子来感性认识一下：取

\lambda = 4mm

$λ = 4 mm$

，

CRT = 40 \mu s

$CRT = 40 μ s$

，

K = 50MHz/\mu s

$K = 50 M Hz / μ s$

，当物体发生一个1mm的微动位移时，有：

∘

相位变化 \ \Delta \phi = \frac{4 \pi \Delta d}{\lambda} =\pi =180^{\circ}

$相位变化 Δ ϕ = \frac{4 π Δ d}{λ} = π = 18 0^{\circ}$

333

频率变化 \ \Delta f = \frac{2K}{c} \Delta d=333Hz

$频率变化 Δ f = \frac{2 K}{c} Δ d = 333 Hz$

而这个频偏在slow time的频率轴引起的变化其实并不大，即

⋅

333

−

0.013

\Delta f \cdot CRT=333\times 40 \times 10 ^{-6} = 0.013 \ cycles

$Δ f \cdot CRT = 333 \times 40 \times 1 0^{- 6} = 0.013 cyc l es$

最大速度与速度分辨率

最大速度

由于

\Delta \phi

$Δ ϕ$

的限制，给出了最大速度的限制，即

-\pi < \Delta \phi < \pi

$- π < Δ ϕ < π$

于是

⋅

-\frac{\lambda}{4 \cdot CRT} < v <\frac{\lambda}{4 \cdot CRT}

$- \frac{λ}{4 \cdot CRT} < v < \frac{λ}{4 \cdot CRT}$

感性认识一下，比如用

5mm

$5 mm$

的毫米波雷达，再用

100 \mu s

$100 μ s$

的CRT，此时能达到的最大速度为

⋅

12.5

v_{max} = \frac{\lambda}{4 \cdot CRT} =12.5m/s

$v_{ma x} = \frac{λ}{4 \cdot CRT} = 12.5 m / s$

速度分辨率

继续借用TI教程里的一张图（这里定义

\omega = \Delta \phi

$ω = Δ ϕ$

），容易发现，速度分辨率与我们的在数字域上的角速度分辨率有关，由于

\Delta \omega = \frac{2\pi}{N} \ radians/sample=\frac{1}{N} \ cycles/sample

$Δ ω = \frac{2 π}{N} r a d ian s / s am pl e = \frac{1}{N} cyc l es / s am pl e$

在这里插入图片描述

于是就有

⋅

\Delta v = \frac{\lambda}{4 \pi \cdot CRT} \Delta \omega = \frac{\lambda}{2N \cdot CRT}

$Δ v = \frac{λ}{4 π \cdot CRT} Δ ω = \frac{λ}{2 N \cdot CRT}$

仍用最大速度中的测算数据，并取 N = 512，我们感性认识到此时的速度分辨率为：

⋅

0.0488

v_{res} = \frac{\lambda}{2N \cdot CRT}=0.0488m/s

$v_{res} = \frac{λ}{2 N \cdot CRT} = 0.0488 m / s$

基于CRT的采样视角

如果我们基于CRT的采样视角去理解这个相位变化，那么对于式子

⋅

\Delta \phi = \frac{4\pi f_o}{c} \Delta d =\frac{4\pi f_0}{c}v \cdot CRT

$Δ ϕ = \frac{4 π f _{o}}{c} Δ d = \frac{4 π f _{0}}{c} v \cdot CRT$

我们两边同除

CRT

$CRT$

，就有：

\frac{\Delta \phi}{CRT}=\frac{4\pi f_0}{c}v

$\frac{Δ ϕ}{CRT} = \frac{4 π f _{0}}{c} v$

根据微分学的知识，我们知道左边可理解为对

\phi

$ϕ$

的微分，即

w = \frac{d\phi}{dt} = 2\pi f_{peak}

$w = \frac{d ϕ}{d t} = 2 π f_{p e ak}$

于是就有：

f_{peak} = 2\frac{v}{\lambda}

$f_{p e ak} = 2 \frac{v}{λ}$

这个式子说明，从频率轴去看，此时直接测得的就是多普勒频偏。进一步就有：

v =\frac{\lambda}{2 } f_{peak}

$v = \frac{λ}{2} f_{p e ak}$

由于此时

CRT

$CRT$

的倒数即是我们等效的采样率。于是，频率分辨率的范围就在

⋅

-\frac{1}{2 \cdot CRT} <f_{peak}<\frac{1}{2\cdot CRT}

$- \frac{1}{2 \cdot CRT} < f_{p e ak} < \frac{1}{2 \cdot CRT}$

于是，可得速度的测量范围为

⋅

-\frac{\lambda}{4 \cdot CRT} < v <\frac{\lambda}{4 \cdot CRT}

$- \frac{λ}{4 \cdot CRT} < v < \frac{λ}{4 \cdot CRT}$

和速度的分辨率

⋅

v_{res} =\frac{\lambda}{2 } f_{res} = \frac{\lambda}{2N \cdot CRT}

$v_{res} = \frac{λ}{2} f_{res} = \frac{λ}{2 N \cdot CRT}$

这种视角个人兴趣所至，以增参考。最后，同样用一张图结束本节的内容。

在这里插入图片描述

原文链接：https://blog.csdn.net/weixin_47305073/article/details/129344499