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【概述】

给出一个有向图，每一个点都有一个权值，现在要选择一个权值和最大的子图，使得每个点的后继都在子图中，这个子图就称为

最大权闭合子图

。

如上图，能选的子图有：Ø、{1,2,3,4,5,6}、{3,6}、{2,4,5,6}、{4,6}、{5,6}、{6}、，他们的权值分别为：0、16、12、4、2、4、5

因此最大闭合子图为：{1,2,3,4,5,6}，权值为 16

【解法】

最大权闭合子图可以转为最小割问题来求解。

首先记录整个图中所有正点权之和，然后建立相应的流量网络

设一个超级源点 S 与一个超级汇点 T，从源点 S 向每个正权点连一条容量为权值的边，每个负权点向汇点 T 连一条容量为权值的绝对值的边，原图中的边容量均设为 INF

由于原图的边都是无穷大的，那么割边一定是与源点 S 或汇点 T 相连的，那么就有以下的含义：

• 割掉 S 与 i 的边，表示不选择 i 点作为子图的点
• 割掉 i 与 T 的边，表示选择 i 点为子图的点
• 如果 S 与 i 有边，表示 i 存在子图中
• 如果 i 与 T 有边，表示 i 不存在于子图中

在建完图后，利用 Dinic 求最小割，割掉后与源点 S 连通的点就构成了最大权闭合子图，最小割的值是不选的正权之和与要选的负权绝对值之和，那么最大权闭合子图的权值就是：正权值之和-最小割