数学 {罗尔中值定理}
罗尔中值定理
定义
条件: 函数满足
C
[
a
,
b
]
C[a,b]
C
[
a
,
b
]
,
D
(
a
,
b
)
D(a,b)
D
(
a
,
b
)
,
f
(
a
)
=
f
(
b
)
f(a) = f(b)
f
(
a
)
=
f
(
b
)
;
结论:
∃
ξ
∈
(
a
,
b
)
,
f
′
(
ξ
)
=
0
\exist \xi \in (a,b), f'(\xi) = 0
∃
ξ
∈
(
a
,
b
)
,
f
′
(
ξ
)
=
0
;
@DELI;
#证明#
由
极值定理
, 函数在
[
a
,
b
]
[a,b]
[
a
,
b
]
上一定取到最大值
M
A
MA
M
A
与最小值
M
I
MI
M
I
;
@IF( MI=MA): 函数在
[
a
,
b
]
[a,b]
[
a
,
b
]
上是
常函数
, 故
∀
x
∈
(
a
,
b
)
\forall x \in (a,b)
∀
x
∈
(
a
,
b
)
都有
f
′
(
x
)
=
0
f'(x) = 0
f
′
(
x
)
=
0
;
@ELSE: {MI, MA}中至少有一个不等于
f
(
a
)
f(a)
f
(
a
)
, 不妨设
M
A
≠
f
(
a
)
MA \neq f(a)
M
A
=
f
(
a
)
(若
M
I
≠
f
(
a
)
MI \neq f(a)
M
I
=
f
(
a
)
, 证明类似), 设函数在
x
0
∈
(
a
,
b
)
x_0 \in (a,b)
x
0
∈
(
a
,
b
)
处取到最大值MA, 根据
费马引理
f
′
(
x
0
)
=
0
f'(x_0) = 0
f
′
(
x
0
)
=
0
;
错误
#罗尔定理得到的驻点, 不一定是极值点#
.
很简单, 因为驻点不一定是极值点 比如
x
3
x^3
x
3
的0处是驻点 但不是极值点;
想象一个函数
f
(
x
)
f(x)
f
(
x
)
:
.
f
(
[
π
/
2
,
π
]
)
=
−
1
∗
s
i
n
(
[
π
/
2
,
π
]
)
f( [\pi/2, \pi]) = -1 * sin([\pi/2, \pi])
f
([
π
/2
,
π
])
=
−
1
∗
s
in
([
π
/2
,
π
])
;
.
f
(
[
−
π
,
π
/
2
]
)
=
s
i
n
(
[
−
π
,
π
/
2
]
)
f([-\pi, \pi/2]) = sin([ -\pi, \pi/2])
f
([
−
π
,
π
/2
])
=
s
in
([
−
π
,
π
/2
])
; (函数在
π
/
2
\pi/2
π
/2
处的导数为0
LINK: (https://editor.csdn.net/md/?articleId=129194272)-(@LOC_1)
);
.
从
−
π
-\pi
−
π
处 向左画一条斜率为
−
1
-1
−
1
的直线, 令
L
<
0
L<0
L
<
0
满足
f
(
L
)
=
f
(
π
)
f(L) = f(\pi)
f
(
L
)
=
f
(
π
)
, 则该函数
C
[
L
,
π
]
,
D
(
L
,
π
)
C[L, \pi], D(L, \pi)
C
[
L
,
π
]
,
D
(
L
,
π
)
, 有两个驻点
−
π
/
2
,
π
/
2
-\pi / 2, \pi/2
−
π
/2
,
π
/2
, 但
π
/
2
\pi/2
π
/2
不是极值点;