该基础知识笔记来源于空间谱估计理论与算法（王永亮…等）。
波程差
两个阵元间的波程差为：
τ
=
1
c
(
x
cos
θ
cos
φ
+
y
sin
θ
cos
φ
+
z
sin
φ
)
,
\tau=\frac{1}{c}(x \cos \theta \cos \varphi+y \sin \theta \cos \varphi+z \sin \varphi),
τ
=
c
1
(
x
cos
θ
cos
φ
+
y
sin
θ
cos
φ
+
z
sin
φ
)
,
其中
c
c
c
为光速。
1. 平面阵
设阵元的位置为
(
x
k
,
y
k
)
,
k
=
1
,
.
.
.
,
M
(x_k,y_k),k=1,…,M
(
x
k
,
y
k
)
,
k
=
1
,
.
.
.
,
M
,以原点为参考点，另假设信号入射参数为
(
θ
i
,
φ
i
)
,
i
=
1
,
.
.
.
,
N
(\theta_i,\varphi_i),i=1,…,N
(
θ
i
,
φ
i
)
,
i
=
1
,
.
.
.
,
N
，分别为方位角(azimuth angle)和俯仰角(zenith angle)，其中方位角表示与
x
x
x
轴的夹角，则有：
τ
k
i
=
1
c
(
x
k
cos
θ
i
cos
φ
i
+
y
k
sin
θ
i
cos
φ
i
)
.
\tau_{ki}=\frac{1}{c}(x_k \cos \theta_i \cos \varphi_i+y_k \sin \theta_i \cos \varphi_i).
τ
k
i
=
c
1
(
x
k
cos
θ
i
cos
φ
i
+
y
k
sin
θ
i
cos
φ
i
)
.
2. 线阵
设阵元的位置为
x
k
,
k
=
1
,
.
.
.
,
M
x_k,k=1,…,M
x
k
,
k
=
1
,
.
.
.
,
M
,以原点为参考点，另假设信号入射参数为
θ
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
N
\theta_i,i=1,…,N
θ
i
,
i
=
1
,
.
.
.
,
N
，表示为方位角(azimuth angle)，其中方位角表示与
y
y
y
轴的夹角(即与线阵防线的夹角)，则有：
τ
k
i
=
1
c
(
x
k
sin
θ
i
)
.
\tau_{ki}=\frac{1}{c} (x_k \sin \theta_i).
τ
k
i
=
c
1
(
x
k
sin
θ
i
)
.
空间频率
表示成空间频率（Spatial Frequency）为：
Φ
ˉ
X
≜
sin
(
ϕ
R
(
q
)
)
cos
(
η
R
(
q
)
)
=
q
x
∣
∣
q
ˉ
∣
∣
,
Φ
ˉ
Y
≜
sin
(
ϕ
R
(
q
)
)
sin
(
η
R
(
q
)
)
=
q
y
∣
∣
q
ˉ
∣
∣
,
\bar{\Phi}_X \triangleq \sin(\phi_R(\mathbf{q}))\cos(\eta_R(\mathbf{q})) = \frac{q_x}{||\bar{\mathbf{q}}||},\\ \bar{\Phi}_Y \triangleq \sin(\phi_R(\mathbf{q}))\sin(\eta_R(\mathbf{q})) = \frac{q_y}{||\bar{\mathbf{q}}||},
Φ
ˉ
X
≜
sin
(
ϕ
R
(
q
)
)
cos
(
η
R
(
q
)
)
=
∣
∣
q
ˉ
∣
∣
q
x
,
Φ
ˉ
Y
≜
sin
(
ϕ
R
(
q
)
)
sin
(
η
R
(
q
)
)
=
∣
∣
q
ˉ
∣
∣
q
y
,
其中以IRS的坐标
q
ˉ
=
[
p
x
,
p
y
,
p
z
]
T
\bar{\mathbf{q}}=[p_x,p_y,p_z]^T
q
ˉ
=
[
p
x
,
p
y
,
p
z
]
T
为参考点。
阵列方向图
阵列输出
的
绝对值
与
来波方向/到达角(AOA)
之间的
关系
称为天线的方向图（Pattern）。
方向图一般分成两类：1）阵列输出的累加（不考虑信号及
来向
），即静态方向图；2）带指向的方向图（考虑信号指向），其中信号的指向是通过
控制加权相位
实现。
对于某一确定的 元空 间阵列，在忽略噪声的条件下，第
l
l
l
个阵元的复振幅为:
x
l
=
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
,
x_l = g_0 e^{-\jmath w \tau_{l}}, l =1,…,m,
x
l
=
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
,
式中
g
0
g_0
g
0
为来波的复振幅，
τ
l
\tau_l
τ
l
为第
l
l
l
个阵元与参考点之间的延迟。设第
l
l
l
个阵元的权值为
w
l
w_l
w
l
,那么所有阵元加权的输出为：
Y
0
=
∑
l
=
1
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
(
2.4.2
)
Y_0 = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath w \tau_l}, l = 1,…,m \qquad (2.4.2)
Y
0
=
l
=
1
∑
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
(
2
.
4
.
2
)
对上式取绝对值并归一化后可得到空间阵列的方向图
G
(
θ
)
G(\theta)
G
(
θ
)
为
G
(
θ
)
=
Y
0
max
{
∣
Y
0
∣
}
,
(
2.4.3
)
G(\theta) = \frac{Y_0}{\max\{|Y_0|\}}, \qquad (2.4.3)
G
(
θ
)
=
max
{
∣
Y
0
∣
}
Y
0
,
(
2
.
4
.
3
)
如果式中$w_l = 1,l=1,2…,m, $
，
则
上
式
为
静
态
方
向
图
，则上式为静态方向图
，
则
上
式
为
静
态
方
向
图
G_0(\theta)$。
线面我们将针对阵列的类型分开讨论。
1. 均匀线阵（Uniform Linear Array）
假设均匀线阵的问距为
d
d
d
，且以最左边的阵元为参考点（原点），另假设信号入射方位角为
θ
\theta
θ
，其中方位角表示与线阵法线方向的夹角，则阵元之间的波程差
τ
=
1
c
(
x
k
sin
θ
)
=
1
c
(
l
−
1
)
(
d
sin
θ
)
(
2.4.4
)
\tau = \frac{1}{c} (x_k \sin \theta) = \frac{1}{c} (l-1) (d \sin \theta) \qquad (2.4.4)
τ
=
c
1
(
x
k
sin
θ
)
=
c
1
(
l
−
1
)
(
d
sin
θ
)
(
2
.
4
.
4
)
则式（2.4.2）可简化成：
Y
0
=
∑
l
=
1
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
=
∑
l
=
1
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
2
π
λ
(
l
−
1
)
d
sin
θ
=
∑
l
=
1
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
(
l
−
1
)
β
Y_0 = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath w \tau_l} = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda}(l-1)d\sin \theta} = \sum_{l=1}^{m} w_l g_0 e^{-\jmath(l-1) \beta}
Y
0
=
l
=
1
∑
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
w
τ
l
=
l
=
1
∑
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
λ
2
π
(
l
−
1
)
d
sin
θ
=
l
=
1
∑
m
w
l
g
0
e
−
ȷ
(
l
−
1
)
β
其中
β
=
2
π
d
sin
θ
λ
\beta = \frac{2 \pi d \sin \theta}{\lambda}
β
=
λ
2
π
d
sin
θ
，
λ
\lambda
λ
为入射信号的波长。
当上式
w
l
=
1
,
l
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
w_l = 1, l = 1,2,…,m
w
l
=
1
,
l
=
1
,
2
,
.
.
.
,
m
时，可进一步简化为
Y
0
=
m
g
0
e
ȷ
(
m
−
l
)
β
/
2
sin
(
m
β
/
2
)
m
sin
(
β
/
2
)
(
2.4.5
)
Y_0 = m g_0 e^{\jmath (m-l)\beta/2} \frac{\sin (m\beta / 2)}{m \sin (\beta /2)} \qquad (2.4.5)
Y
0
=
m
g
0
e
ȷ
(
m
−
l
)
β
/
2
m
sin
(
β
/
2
)
sin
(
m
β
/
2
)
(
2
.
4
.
5
)
由上式可得ULA的静态方向图：
G
0
(
θ
)
=
∣
sin
(
m
β
/
2
)
m
sin
(
β
/
2
)
∣
G_0(\theta)= \left| \frac{\sin(m\beta /2)}{m \sin(\beta /2)} \right|
G
0
(
θ
)
=
∣
∣
∣
∣
m
sin
(
β
/
2
)
sin
(
m
β
/
2
)
∣
∣
∣
∣
当式（2.4.5）中的
w
l
=
e
ȷ
(
l
−
1
)
β
d
w_l = e^{\jmath (l-1) \beta_d}
w
l
=
e
ȷ
(
l
−
1
)
β
d
,
β
d
=
2
π
d
sin
θ
d
λ
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
\beta_d = \frac{2 \pi d \sin \theta_d}{\lambda}, l =1,…,m
β
d
=
λ
2
π
d
sin
θ
d
,
l
=
1
,
.
.
.
,
m
时，可简化为：
Y
0
=
m
g
0
e
ȷ
(
m
−
1
)
(
β
−
β
d
)
2
sin
[
m
(
β
−
β
d
)
/
2
]
m
sin
[
(
β
−
β
d
)
/
2
]
.
Y_0 = m g_0 e^{\jmath \frac{(m-1)(\beta – \beta_d)}{2} } \frac{\sin [m(\beta-\beta_d)/2]}{m \sin [(\beta-\beta_d)/2]}.
Y
0
=
m
g
0
e
ȷ
2
(
m
−
1
)
(
β
−
β
d
)
m
sin
[
(
β
−
β
d
)
/
2
]
sin
[
m
(
β
−
β
d
)
/
2
]
.
如下，图2.4.1（a）为静态方向图，图2.4.1（b）为指向为
3
0
o
30^o
3
0
o
的方向图，另外加了旁瓣电平为
−
30
d
B
-30\rm{dB}
−
3
0
d
B
的切比雪夫权。
2. 平面阵列（Uniform Plane Array）
假定这个平面阵是矩阵阵列，维度为
m
×
n
m\times n
m
×
n
个阵元组成，几何关系如下图。
定义：以左上角的阵元为参考点，
x
x
x
轴上有
n
n
n
个间隔
d
d
d
的均匀线阵，
θ
\theta
θ
和
φ
\varphi
φ
分别为方位角和俯仰角。
-
当竖面放置阵列（图a），信号入射到第
kk
k
个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
τ=
1
c
(
x
k
cos
θ
cos
φ
+
y
k
sin
θ
cos
φ
)
\tau = \frac{1}{c} (x_k \cos \theta \cos \varphi + y_k \sin \theta \cos \varphi )
τ
=
c
1
(
x
k
cos
θ
cos
φ
+
y
k
sin
θ
cos
φ
)
-
当竖面放置阵列（图b）和
y=
0
y=0
y
=
0
，信号入射到第
kk
k
个阵元上引起的与参考阵元间的时延为：
τ=
1
c
(
x
k
cos
θ
cos
φ
+
z
k
sin
φ
)
\tau = \frac{1}{c} (x_k \cos \theta \cos \varphi + z_k \sin \varphi)
τ
=
c
1
(
x
k
cos
θ
cos
φ
+
z
k
sin
φ
)
-
因此，当
wi
=
1
,
g
0
=
1
w_i = 1,g_0 = 1
w
i
=
1
,
g
0
=
1
时，
水平面放置
的平面阵的方向图：
G(
θ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
2
π
λ
(
x
i
cos
θ
cos
φ
+
y
i
sin
θ
cos
φ
)
=
∑
i
=
1
m
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
+
(
k
−
1
)
sin
θ
cos
φ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
)
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
k
−
1
)
sin
θ
cos
φ
)
=
G
r
o
w
(
θ
)
G
c
o
l
(
θ
)
\begin{array}{ll} G(\theta) & = \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda} (x_i\cos \theta \cos \varphi + y_i \sin \theta \cos \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d }{\lambda} ((i-1)\cos \theta \cos \varphi + (k-1) \sin \theta \cos \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((i-1) \cos \theta \cos \varphi) } \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((k-1) \sin \theta \cos \varphi) }\\ &=G_{row} (\theta)G_{col} (\theta) \end{array}
G
(
θ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
λ
2
π
(
x
i
cos
θ
cos
φ
+
y
i
sin
θ
cos
φ
)
=
∑
i
=
1
m
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
+
(
k
−
1
)
sin
θ
cos
φ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
)
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
k
−
1
)
sin
θ
cos
φ
)
=
G
r
o
w
(
θ
)
G
c
o
l
(
θ
)
即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与
xx
x
方向）方向图
Gr
o
w
(
θ
)
G_{row}(\theta)
G
r
o
w
(
θ
)
与合成列子阵（平行于
yy
y
方向）方向图
Gc
o
l
(
θ
)
G_{col}(\theta)
G
c
o
l
(
θ
)
的
乘积
。 -
因此，当
wi
=
1
,
g
0
=
1
w_i = 1,g_0 = 1
w
i
=
1
,
g
0
=
1
时，
竖面放置
的平面阵的方向图：
G(
θ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
2
π
λ
(
x
i
cos
θ
cos
φ
+
z
i
sin
φ
)
=
∑
i
=
1
m
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
+
(
k
−
1
)
sin
φ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
)
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
2
π
d
λ
(
(
k
−
1
)
sin
φ
)
=
G
r
o
w
(
θ
)
G
c
o
l
(
θ
)
\begin{array}{ll} G(\theta) & = \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi}{\lambda} (x_i\cos \theta \cos \varphi + z_i \sin \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d }{\lambda} ((i-1)\cos \theta \cos \varphi + (k-1) \sin \varphi) } \\ &= \sum_{i=1}^{m} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((i-1) \cos \theta \cos \varphi) } \sum_{k=1}^{n} e^{-\jmath \frac{2\pi d}{\lambda} ((k-1) \sin \varphi) }\\ &=G_{row} (\theta)G_{col} (\theta) \end{array}
G
(
θ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
λ
2
π
(
x
i
cos
θ
cos
φ
+
z
i
sin
φ
)
=
∑
i
=
1
m
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
+
(
k
−
1
)
sin
φ
)
=
∑
i
=
1
m
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
i
−
1
)
cos
θ
cos
φ
)
∑
k
=
1
n
e
−
ȷ
λ
2
π
d
(
(
k
−
1
)
sin
φ
)
=
G
r
o
w
(
θ
)
G
c
o
l
(
θ
)
即平面阵的方向图相当于合成行子阵（平行与
xx
x
方向）方向图
Gr
o
w
(
θ
)
G_{row}(\theta)
G
r
o
w
(
θ
)
与合成列子阵（平行于
zz
z
方向）方向图
Gc
o
l
(
θ
)
G_{col}(\theta)
G
c
o
l
(
θ
)
的
乘积
。
