Python学习-机器学习实战-ch05 Logistic回归

好久没有更新了，终于把毕业论文初稿给老师了，赶紧继续学习吧！

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《机器学习实战》第五章：Logistic回归

通常，我们需要把输入值转换成类别输出。在只有两个类别的时候，最简单的函数即单位阶跃函数。但是，从0到1的转换瞬间通常是非常难确定的。所以，Sigmoid函数就可以用来代替单位阶跃函数啦。

Sigmoid函数公式如下：

Γ (z) = 1 1 + e - z

$\Gamma(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

sigmoid函数曲线

当x=0时，sigmoid函数值为0.5。

随着x增大，sigmoid值逼近1。

随着x减小，sigmoid值逼近0。

Logistic回归的思想就是，将特征值乘以回归系数，求和后的值输入到sigmoid函数中，进而得到分类结果。

我们将sigmoid函数的输入即为z，则z由以下公式得出：

z = w 0 x 0 + w 1 x 1 + w 2 x 2 + \dots + w n x n

$z=w_0x_0+w_1x_1+w_2x_2+\ldots+w_nx_n$

其中，

$ｘ$
表示分类器的输入数据，向量

$w$
就是Logistic的参数。当然，上式也可以直接写成

z = w T x

$z=w^{T}x$

那么，现在问题就变成了，求最优的回归系数

$w$

为了寻找最佳参数，书中介绍了最优化理论的基础知识。

1.梯度上升法

梯度上升法的基本思想是：要找某个函数的最大值，最好的方法是沿着该函数的梯度方向探寻。

\nabla f (x, y) = ⎛ ⎝ ⎜ \partial f ( x , y ) \partial x \partial f ( x , y ) \partial y ⎞ ⎠ ⎟

$\nabla f(x,y)=\binom{\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}}{\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}}$

这个梯度

$\nabla$
表示沿

$x$
的方向移动了

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}$
，沿

$y$
的方向移动了

$\frac{\partial f(x,y)}{\partial y}$
。

梯度上升算法的迭代公式如下：

w : = w + α \nabla w f (w)

$w:=w+\alpha \nabla _w f(w)$

其中，

$\alpha$
表示移动量的大小，即步长。该迭代一直被执行，直到达到某个停止条件为止。

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更常听到的是梯度下降法。与梯度上升法一样的，但是加法变成减法，即迭代公式变为：

w : = w - α \nabla w f (w)

$w:=w-\alpha \nabla _w f(w)$

梯度上升法用来求函数的最大值，梯度下降法用来求函数最小值。

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梯度上升法的伪代码如下：

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

– 每个回归系数初始化为1

– 重复R次：

– 计算整个数据集的梯度

– 使用alpha*gradient更新回归系数的向量

– 返回回归系数

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

代码如下：

from numpy import *
def loadDataSet():
    dataMat=[];labelMat=[]
    fr=open('testSet.txt')
    for line in fr.readlines():
        lineArr=line.strip().split()
        dataMat.append([1.0,float(lineArr[0]),float(lineArr[1])])
        labelMat.append(int(lineArr[2]))
    return dataMat,labelMat

def sigmoid(inX):
    return 1.0/(1+exp(-inX))

def gradAscent(dataMatIn,classLabels):
    dataMatrix=mat(dataMatIn)
    #mat()是numpy内的函数，将数组转化为矩阵
    labelMat=mat(classLabels).transpose()
    #transpose()函数用于矩阵转置
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.001
    #步长
    maxCycles=500
    weights=ones((n,1))
    for k in range(maxCycles):
        h=sigmoid(dataMatrix*weights)
        #sigmoid函数的分类结果
        error=(labelMat-h)
        #真实与预测的误差
        weights=weights+alpha*dataMatrix.transpose()*error
        #用误差乘以数据矩阵的转置表示梯度，此包含一个数学推导
    return weights

def plotBestFit(weights):
    import matplotlib.pyplot as plt
    dataMat,labelMat=loadDataSet()
    dataArr=array(dataMat)
    n=shape(dataArr)[0]
    #shape求的是大小，[0]表示行数，即数据个数
    xcord1=[];ycord1=[]
    xcord2=[];ycord2=[]
    for i in range(n):
        if int(labelMat[i])== 1:
            xcord1.append(dataArr[i,1]);ycord1.append(dataArr[i,2])
        else:
            xcord2.append(dataArr[i,1]);ycord2.append(dataArr[i,2])

    fig=plt.figure()
    ax=fig.add_subplot(111)
    ax.scatter(xcord1,ycord1,s=30,c='red',marker='s')
    ax.scatter(xcord2,ycord2,s=30,c='green')
    #绘制正反类散点图
    x=arange(-3.0,3.0,0.1)
    y=(-weights[0]-weights[1]*x)/weights[2]
    ax.plot(x,y)
    plt.xlabel('X1')
    plt.ylabel('X2')
    plt.show()

结果如下：

梯度上升算法结果

梯度上升算法每次更新回归系数时都需要遍历整个数据集。当样本数量个数巨大或者特征维度特别高时，运算复杂度极高。所以，使用了新方法称为：随机梯度上升算法。可以在新样本到来时对分类器进行增量式更新，因此它是一个

“在线学习算法“

。对应的，一次处理所有数据称为

“批处理”

。

随机梯度上升法的伪代码如下：

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

– 每个回归系数初始化为1

– 对数据集中每个样本

~~（重复R次）~~

：

– 计算该样本

~~（整个数据集）~~

的梯度

– 使用alpha*gradient更新回归系数的向量

– 返回回归系数

××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××××

def stocGradAscent0(dataMatrix,classLabels):
    m,n=shape(dataMatrix)
    alpha=0.01
    weights=ones(n)
    #m表示数据样本的个数
    for i in range(m):
        h=sigmoid(sum(dataMatrix[i]*weights))
        error=classLabels[i]-h
        weights=weights+alpha*error*dataMatrix[i]
        #此处与原本方法不同的：梯度上升算法是对整个数据集进行操作，所以是以矩阵进行计算
        #此函数h和error都是向量
        #因为是对每个样本进行操作的
    return weights

结果如下：

随机梯度上升算法

数据集并非是线性可分，该方法受样本的影响较大，容易在每次迭代中发生系数波动。所以，对随机梯度上升算法进行改进。

def stocGradAscent1(dataMatrix,classLabels,numIter=150):
    m,n=shape(dataMatrix)
    weights=ones(n)
    for j in range(numIter):
        dataIndex=list(range(m))
        for i in range(m):
            alpha=4/(1.0+j+i)+0.01
            randIndex=int(random.uniform(0,len(dataIndex)))
            #uniform(x,y) 方法将随机生成下一个实数，它在[x,y]范围内。
            h=sigmoid(sum(dataMatrix[randIndex]*weights))
            error=classLabels[randIndex]-h
            weights=weights+alpha*error*dataMatrix[randIndex]
            del (dataIndex[randIndex])
    return weights

此处，alpha在每次迭代每个样本时都进行调整。alpha会随着迭代次数不断减少，但不会减小到0。随机选取样本的方法可以减少周期的波动。

此处将dataIndex从range外改成list型。

改进后的随机梯度上升算法

实例

分类函数：

def classifyVector(inX,weights):
    prob=sigmoid(sum(inX*weights))
    if prob>0.5:
        return 1.0
    else:
        return 0.0

测试过程：

def coliTest():
    frTrain=open('horseColicTraining.txt')
    frTest=open('horseColicTraining.txt')
    trainingSet=[]
    trainingLabels=[]
    for line in frTrain.readlines():
        currLine=line.strip().split('\t')
        lineArr=[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        trainingSet.append(lineArr)
        trainingLabels.append(float(currLine[21]))
    trainWeights=stocGradAscent1(array(trainingSet),trainingLabels,500)
    errorCount=0
    numTestVec=0.0
    for line in frTest.readlines():
        numTestVec+=1.0
        currLine=line.strip().split('\t')
        lineArr=[]
        for i in range(21):
            lineArr.append(float(currLine[i]))
        if int(classifyVector(array(lineArr),trainWeights))!= round(float(currLine[21])):
            errorCount+=1
    errorRate=(float(errorCount)/numTestVec)
    print('the error rate of this test is:%f' %errorRate)
    return errorRate

def multiTest():
    numTest=10
    errorSum=0.0
    for k in range(numTest):
        errorSum+=coliTest()
    print('after %d iterations the average error rate is :%f' %(numTest,errorSum/float(numTest)))

实例结果

Logistic回归的目的是寻找一个非线性函数Sigmoid的最佳拟合参数，求解过程可由优化算法来完成。在最优化算法中，最常用的是梯度上升算法。

原文链接：https://blog.csdn.net/dai_fun/article/details/51220028

《机器学习实战》第五章：Logistic回归

1.梯度上升法

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