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常见分布

总结统计工作中几个常用用法在python统计函数库scipy.stats的使用范例

常见术语

• 
  pdf
  
  ，概率密度函数（Probability Density Function），连续型随机变量的概率。
• 
  cdf
  
  ，累积分布函数（Cumulative Distribution Function），pdf的积分。
• 
  ppf
  
  ，百分点函数（Percent Point Function），cdf的逆函数。
• 
  pmf
  
  ，概率质量函数（Probability Mass Function），离散型随机变量的概率。
• sf，残存函数（Survival function），它的值为（1-CDF）
• isf，逆残存函数（Inverse survival function），sf的逆函数

常见随机分布

下面我们以正态分布（Norm）和泊松分布（Poisson）为例做详细的介绍

1.正态分布（Norm）

norm = scipy.stats.norm(loc=0, scale=1)

正态分布，属于连续性概率分布函数，

loc

表示均值，

scale

表示标准差。其概率密度函数为：

x = np.linspace(-1.5, 1.5, 100)
labels = []
f_list = [stats.norm.pdf, stats.norm.cdf, stats.norm.ppf]
plt.figure(dpi=150)
for f in f_list:
    labels.append(f)
    y = f(x, loc=0, scale=0.5)  #标准正态分布，均值0，标准差0.5
    plt.tick_params(axis='both', labelsize=14)
    plt.plot(x, y)
plt.legend(labels=['pdf', 'cdf', 'ppf'], loc='best')
plt.title("Normal distribution")

import matplotlib.pyplot as plt
import scipy.stats as stats
import numpy as np
import math

x = np.linspace(-5, 5, 1000)
labels = []
mu_list = [0, 0, 0, -2]
sigma_list = [0.2, 1.0, 5.0, 0.5]
plt.figure(dpi=150)
for mu, sigma in zip(mu_list, sigma_list):
    labels.append('μ={}, σ²={}'.format(mu, sigma))
    y = stats.norm.pdf(x, loc=mu, scale=math.sqrt(sigma))
    plt.axis([-5, 5, 0, 1.0])
    plt.tick_params(axis='both', labelsize=14)
    plt.plot(x, y)
plt.legend(labels=labels, loc='best')
plt.show()

连续随机变量对象的方法

rvs：产生服从这种分布的一个样本，对随机变量进行随机取值，可以通过size参数指定输出的数组大小。

from scipy import stats
rv_norm=stats.norm.rvs(loc = 5,scale = 1,size =(2,2))
# array([[4.75695311, 5.71218072], [6.05233184, 5.56499171]])
rv_norm=stats.norm.rvs(loc = 5,scale = 1,size =6)
# array([3.39791064, 5.18353263, 2.38873254, 5.00970607, 4.36979662, 4.16425798])

pdf：随机变量的概率密度函数。产生对应x的这种分布的y值

# 比如我们想知道标准正态分布得到0的概率。
st.norm.pdf(x=0,loc=0,scale=1)
0.3989422804014327

cdf:随机变量的累积分布函数，它是概率密度函数的积分（也就是x时p(X<x)的概率）。产生对应x的这种分布的累积分布函数的值。

x=st.norm.cdf(0.842,loc=0,scale=1)
y=st.norm.cdf(1.6449,loc=0,scale=1)
z=st.norm.cdf(2.33,loc=0,scale=1)
print(x,y,z)
0.8001060232739432 0.9500047825316537 0.9900969244408357

问题：正态分布的3σ原则为：数值分布在（μ-σ,μ+σ)中的概率为0.6827；数值分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率为0.9545；数值分布在（μ-3σ,μ+3σ)中的概率为0.9973，可以认为，Y的取值几乎全部集中在（μ-3σ,μ+3σ)区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.3%。

证明如下：

x=st.norm.cdf(1,loc=0,scale=1)
y=st.norm.cdf(2,loc=0,scale=1)
z=st.norm.cdf(3,loc=0,scale=1)
print(x-(1-x),y-(1-y),z-(1-z))
0.6826894921370859 0.9544997361036416 0.9973002039367398

ppf:累积分布函数的反函数。q=0.01时，ppf就是p(X<x)=0.01时的x值。

inv_z095=st.norm.ppf(0.95)
inv_z099=st.norm.ppf(0.99)
inv_z080=st.norm.ppf(0.80)
print(inv_z080,inv_z095,inv_z099)
0.8416212335729143 1.6448536269514722 2.3263478740408408

interval：中位数周围面积相等的置信区间

# 证明数值分布在（μ-2σ,μ+2σ)中的概率为0.9545
interval=st.norm.interval(0.9544997361036416,loc=0,scale=1)
interval
Out[56]: (-2.0000000000000004, 2.0000000000000004)
st.norm.interval(0.95,loc=0,scale=1)
Out[57]: (-1.959963984540054, 1.959963984540054) # 1.96

fit:对一组随机取样进行拟合，找出最适合取样数据的概率密度函数的系数。如stats.norm.fit(x)就是将x看成是某个norm分布的抽样，求出其最好的拟合参数（mean, std）连续分布函数特有方法

import numpy as np
from scipy import stats

data = stats.norm.rvs(size=1000, random_state=3)  # 生成随机数
print(np.mean(data), np.std(data))
print(stats.norm.fit(data))
0.017284332980834295 1.0084018990512724
(0.017284332980834295, 1.0084018990512724)

泊松分布（Poisson）

首先要清楚，泊松分布是离散的，也就是说我接到骚扰电话次数必须是整数，要么就是15次，要么就是16次…,而不会是15.5次。




均值方差：泊松分布的均值和方差都是 λ。

使用poisson.rvs(mu, size) 函数生成服从泊松分布数据，给定均值和样本大小：

from scipy import stats
data = stats.poisson.rvs(mu=2, size=10, random_state=5343)
# data
# array([2, 0, 3, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 1], dtype=int64)

泊松分布属于离散型概率分布函数， 其概率质量函数为poisson.pmf(k, mu)


上述概率质量函数以“标准化”形式定义。要移动分布，请使用loc参数。具体来说，就是泊松pmf（k，mu，loc）等同于泊松。pmf（k-loc，mu）

# 某商店每天平均有三位顾客，某天恰好有5人的概率：
from scipy.stats import poisson
poisson.pmf(k=5, mu=3)
# 结果为 0.100819

使用poisson.cdf(k, mu)及计算泊松分布的累积分布函数值

# 某商店平均每天卖7个足球，那么某天卖出足球数量小于5的概率：
from scipy.stats import poisson
# 计算累积概率
poisson.cdf(k=4, mu=7)
# 结果为 0.172992

# 某商店平均每天卖15个罐头，则某天卖出罐头超过20听的概率：
# 1减去累积概率
1-poisson.cdf(k=20, mu=15)
# 结果为 0.082971

poisson.ppf(q, mu, loc=0)累积分布函数的反函数

stats.poisson.ppf(q=0.95, mu=3, loc=0)
Out[58]: 6.0
stats.poisson.ppf(q=0.95, mu=5, loc=0)
Out[59]: 9.0

泊松分布图像绘制

# IMPORTS
import numpy as np
import scipy.stats as stats
import matplotlib.pyplot as plt
import matplotlib.style as style
from IPython.core.display import HTML

# PLOTTING CONFIG
style.use('fivethirtyeight')
plt.rcParams["figure.figsize"] = (14, 7)

plt.figure(dpi=100)
# PDF
plt.bar(x=np.arange(20),
        height=(stats.poisson.pmf(np.arange(20), mu=5)),
        width=.75,
        alpha=0.75
        )
# CDF
plt.plot(np.arange(20),
         stats.poisson.cdf(np.arange(20), mu=5),
         color="#fc4f30",
         )
# LEGEND
plt.text(x=8, y=.45, s="pmf (normed)", alpha=.75, weight="bold", color="#008fd5")
plt.text(x=8.5, y=.9, s="cdf", alpha=.75, weight="bold", color="#fc4f30")

# TICKS
plt.xticks(range(21)[::2])
plt.tick_params(axis='both', which='major', labelsize=18)
plt.axhline(y=0.005, color='black', linewidth=1.3, alpha=.7)

# TITLE, SUBTITLE & FOOTER
plt.text(x=-2.5, y=1.25, s="Poisson Distribution - Overview",
         fontsize=26, weight='bold', alpha=.75)
plt.text(x=-2.5, y=1.1,
         s='Depicted below are the normed probability mass function (pmf) and the cumulative density\nfunction (cdf) of a Poisson distributed random variable $ y \sim Poi(\lambda) $, given $ \lambda = 5 $.',
         fontsize=19, alpha=.85)
# 调整空白
plt.subplots_adjust(left=0.1, bottom=0.2, right=0.9, top=0.8, wspace=0.5, hspace=0.5)
plt.show()

x = np.arange(20)
mu_list = [1, 5, 10]
plt.figure(dpi=150)
for mu in mu_list:
    y = stats.poisson.pmf(x, mu=mu)
    plt.axis([0, 20, 0, 0.4])
    plt.tick_params(axis='both', labelsize=14)
    plt.scatter(x, y)
    plt.plot(x, y,label='μ={}'.format(mu))
plt.legend(loc='best')
plt.show()

参考连接

Scipy教程 – 统计函数库scipy.stats



Python概率分布大全（含可视化）