在我们做统计分析之前，面对大量杂乱无章的数字往往会做个散点图，以对数据有直观的了解。例如，某超市的销售主管想要知道，顾客的收入水平是否对购买新的智能手机有影响。为此，他选择了12为顾客，调查他们的月收入（X）以及是否购买了新的手机，购买记为{Y=1}，未购买记为{Y=0}。调查结果为12位受访者有7位购买了新手机。
我们的第一想法就是试试用线性回归看能否较好地描述这个问题。
因此可得以下回归直线：P=-0.749+0.0003358*X。这里的Y值可表示为购买手机的概率，但是这里出现了两个问题：一是当收入很小时，P值可为负，当收入很大时，P值会大于1；二是当购买概率接近于1或0时，概率对自变量（收入水平）的变化就不是很敏感，即这附近，收入需要很大的变化，才能引起概率P的变化（系数很小）。既然如此，我们如何去修正呢？我们就需要引入logit变换的概念。
Logistic变换
Logistic回归不是估计二元因变量的观察值，而是要推导出这些观察值出现的概率。为了能确定事件Y发生的概率，我们假设存在一个关于概率p的函数Ɵ=f(p)，此函数形式简单，且为单调函数。根据数学中导数的定义，以f'(p)反映在p附近的变化，同时，在p=0或1附近时，f'(p)有较大的值，于是取函数f'(p)（公式1），即f(p)（公式2），称此式为Logistic变换。
可以看出当f'(p)>0时，Ɵ=f(p)为p的增函数，且当p从0至1变化时，Ɵ在（-∞，+∞）上变化，这一变换也解决了上述出现的两个问题，在数据处理上也带来了很多方便。
为了建立因变量P与自变量X之间的合理的变化关系，我们令
经过换算，则顾客手机购买概率：
一般的，Y 是0，1变量，X是任意k个变量，那么变量Y关于变量X的k元logistic回归模型为公式3，其中，对于二值变量Y关于变量X的一元logistic回归模型即公式4：
其中α和β是未知参数或待估计的回归系数，该模型描述了y取某个值（这里y=1）的概率P与自变量X之间的关系。
小结：本期，我们从一个小的案例出发，逐步分析，利用数学知识描述了从简单线性回归到logistic回归的过程，下期我们将简要介绍logistic回归系数的相关问题，以期对模型有更深的认识。
关于Logistic回归概述，小伙伴们可以回顾本系列的第一篇推文《Logistic回归系列（一）——Logistic回归概述》。
本期参考：
- 《Logistic回归入门》[美]Fred C. Pampel著，周穆之译，陈伟校；
- 《Logistic回归模型分析综述及应用研究》 [硕士论文] 尹建杰，黑龙江大学 ，2011