f
′
(
x
)
=
lim
△
x
→
∞
1
x
=
0
f'(x)=\lim\limits_{△x\rightarrow\infty}\frac{1}{x}=0
f
′
(
x
)
=
△
x
→
∞
lim
x
1
=
0
证明：求函数
f
′
(
x
)
=
x
n
(
x
∈
N
+
)
的
导
数
f'(x)=x^n(x∈N_+)的导数
f
′
(
x
)
=
x
n
(
x
∈
N
+
)
的
导
数
方法一：
f
′
(
x
)
=
lim
△
x
→
0
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
△
x
=
lim
△
x
→
0
(
x
+
△
x
)
n
−
x
n
△
x
=
lim
△
x
→
0
C
n
n
x
n
△
x
0
+
C
n
n
−
1
x
n
−
1
△
x
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
−
x
n
△
x
=
lim
△
x
→
0
C
n
n
−
1
x
n
−
1
△
x
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
△
x
=
lim
△
x
→
0
C
n
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
−
1
f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(x+△x)^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{C^n_nx^n△x^0+C^{n-1}_nx^{n-1}△x^1+…+C^0_nx^0_n△x^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{C^{n-1}_nx^{n-1}△x^1+…+C^0_nx^0_n△x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}{C^{n-1}_nx^{n-1}+…+C^0_nx^0_n△x^{n-1}}
f
′
(
x
)
=
△
x
→
0
lim
△
x
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
=
△
x
→
0
lim
△
x
(
x
+
△
x
)
n
−
x
n
=
△
x
→
0
lim
△
x
C
n
n
x
n
△
x
0
+
C
n
n
−
1
x
n
−
1
△
x
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
−
x
n
=
△
x
→
0
lim
△
x
C
n
n
−
1
x
n
−
1
△
x
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
=
△
x
→
0
lim
C
n
n
−
1
x
n
−
1
+
.
.
.
+
C
n
0
x
n
0
△
x
n
−
1
∵
△
x
→
0
{△x\to0}
△
x
→
0
∴
有
△
x
的
项
都
为
0
有△x的项都为0
有
△
x
的
项
都
为
0
即：
f
′
(
x
)
=
lim
△
x
→
0
C
n
n
−
1
x
n
−
1
=
n
∗
x
n
−
1
f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}{C^{n-1}_nx^{n-1}}=n*x^{n-1}
f
′
(
x
)
=
△
x
→
0
lim
C
n
n
−
1
x
n
−
1
=
n
∗
x
n
−
1
方法二：使用等价无穷
lim
a
→
0
(
1
+
a
)
n
−
1
=
n
∗
a
\lim\limits_{a\to0}{(1+a)^n-1}=n*a
a
→
0
lim
(
1
+
a
)
n
−
1
=
n
∗
a
∴
f
′
(
x
)
=
lim
△
x
→
0
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
△
x
=
lim
△
x
→
0
(
x
+
△
x
)
n
−
x
n
△
x
=
lim
△
x
→
0
(
x
+
△
x
x
)
n
−
(
x
x
)
n
(
△
x
x
n
)
=
x
n
−
1
∗
lim
△
x
→
0
(
1
+
△
x
x
)
n
−
1
△
x
x
=
x
n
−
1
∗
n
f'(x)=\lim\limits_{△x\to0}\frac{f(x+△x)-f(x)}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(x+△x)^n-x^n}{△x}=\lim\limits_{△x\to0}\frac{(\frac{x+△x}{x})^n-(\frac{x}{x})^n}{(\frac{△x}{x^n})}=x^{n-1}*\lim\limits_{△x\to0}\frac{(1+\frac{△x}{x})^n-1}{\frac{△x}{x}}=x^{n-1}*n
f
′
(
x
)
=
△
x
→
0
lim
△
x
f
(
x
+
△
x
)
−
f
(
x
)
=
△
x
→
0
lim
△
x
(
x
+
△
x
)
n
−
x
n
=
△
x
→
0
lim
(
x
n
△
x
)
(
x
x
+
△
x
)
n
−
(
x
x
)
n
=
x
n
−
1
∗
△
x
→
0
lim
x
△
x
(
1
+
x
△
x
)
n
−
1
=
x
n
−
1
∗
n