数字图像处理-傅里叶变换
马殿富 dfma@nlsde.buaa.edu.cn 2002.9.29 变换问题的引入 数字图像正交变换 傅里叶变换 沃尔什变换 哈达玛变换 离散余弦变换 K-L变换 小波变换 傅里叶变换 傅里叶变换是线性系统分析的一个有力工具，它能够定量地分析诸如数字图像之类的数字化系统，把傅里叶变换的理论与物理解释相结合，将有利于解决大多数图像处理问题。 幅值 频率 一维基函数 一维傅立叶变换定义 设 x(n):x(0),x(1),……,x(N-1); X(m): X(0), X(1),……,X(N-1)是数字序列， 则序列x(n)的傅立叶变换生成序列X(m)表示如下： x(n)是输入函数，X(m)是输出函数，N=8 二维傅立叶变换定义 图像矩阵 实数 二维傅立叶变换定义 设 f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1), f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1), ……. f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是数字矩阵 F(u,v): f(x,y):f(0,0),f(0,1),……,f(0,N-1), f(1,0),f(1,1),……,f(1,N-1), ……. f(N-1,0),f(N-1,1),……,f(N-1,N-1),是数字矩阵 则f(x,y)的傅立叶变换生成F(u,v)表示如下： 二维傅立叶变换 傅立叶变换：F(u,v)=|F(u,v)|ej?(u,v) 傅立叶谱： |F(u,v)|= [R2(u,v)+I2(u,v)]1/2 相位 ?(u,v)=arctan(I(u,v)/R(u,v)) 能量谱: E=|F(u,v)|2 二维傅立叶变换 二维傅立叶变换示例(1) 二维傅立叶变换示例(2) 傅里叶变换示例 傅立叶变换示例(1) 图像中的周期性噪声产生了变换中的尖峰信号 幅值与相位 傅立叶变换示例(2.1) 傅里叶变换性质1 可分离性 二维傅里叶变换可以分离为一维傅里叶变换处理 傅里叶变换性质1 可分离性 图像 傅立叶变换性质2 周期性 如果f(x,y)?F(u,v),则 傅立叶变换性质3 平移性 傅立叶变换性质3 平移性 如果f(x,y)?F(u,v),则 f(x,y)exp[j2?(u0x+v0y)/N]?F(u-u0,v-v0) f(x-x0,y-y0)?F(u,v)exp[-j2?(ux0+vy0)/N] 傅立叶变换性质4 共轭对称性 如果f(x,y)?F(u,v), F*(-u,-v)是共轭复数，则 F(u,v)= F*(-u,-v) |F(u,v)|= |F*(-u,-v)| 傅立叶变换性质5 旋转 傅立叶变换性质5 旋转 设f(x,y)?F(u,v), 傅立叶变换性质6 线性 如果f1(x,y)?F1(u,v), f2(x,y)?F2(u,v),则 傅立叶变换性质7 比例性 如果f(x,y)?F(u,v),则 傅立叶变换性质7 平均值 傅立叶变换性质拉普拉斯算子 如果f(x,y)?F(u,v),并且 ▽2f(x,y)=?2f(x,y)/?x2+?2f(x,y)/?y2,则 ▽2f(x,y)= -(2?)2(u2+v2)F(u,v) 卷积定义 一维卷积定义： 卷积示例(1.1) f(x)和g(x)作卷积 卷积示例(1.2) f(?)和 g(x- ?) 乘积 卷积示例(2) 函数f(x) 卷积示例(3) 折叠 卷积定理 如果f(x,y)?F(u,v), g(x,y) ? G(u,v) 则f(x,y)*g(x,y) ? F(u,v)G(u,v) 许多图像变换是卷积运算 在频域的乘积运算比在空域的卷积运算快，特别是有了快速傅立叶变换以后，效果更加明显。 相关定义 一维相关定义： 相关定理 如果f(x,y)?F(u,v), g(x,y) ? G(u,v) 则f(x,y)?g(x,y) ? F(u,v)G*(u,v) 相关主要应用于模板和原型匹配 给定一个未知图像和已知图像集之间求最紧密的匹配。其基本途径是求相关，然后取相关函数最大值。 能量(Rayleigh)定理 能量定义 能量定理 快速傅立叶变换(1) 1850年，高斯给出了DFT有效算法 1942年，丹尼尔森证明了一个界长为N的傅立叶变换可以由两个界长为N/2的傅立叶变换表示。 1964年，库利-图基给出了快速傅立叶变换算法 快速傅立叶变换(1) 计算复杂性：N乘法，N(N-1)加法 快速傅立叶变换(2) W是周期为N的周期函数 W=cos (2?/N) –