01 贝叶斯决策理论要解决的问题
根据已有数据对新的数据行分类
02 从一个经典的例子说起
问题：已知若干条鲈鱼和马哈鱼的长度信息，根于一条未知品种的鱼的长度，判断其是鲈鱼还是马哈鱼。
思路：引入随机变量
,
：鲈鱼；
：马哈鱼；
：鲈鱼的概率;
：马哈鱼的概率。
；
根据已有两种鱼长度
的数据，我们可以知道类条件概率密度函数
那么可以根据贝叶斯公式
可以计算出后验概率密度函数
，如下图
03 最小错误率决策标准
给定鱼的长度，两类属性的概率一目了然，那么采取怎样的标准去判别呢？
最自然想到的标准便是 最小错误率 了
用数学表达就是
证明：
启发式地证明：所谓概率最大就是取上图中上部分的曲线为决策分类，那么下部分的曲线就是错误决策分类，下部分曲线的概率自然是最小的。
04 最小风险决策标准
但是最小错误率标准在某些决策中是不合理的。比如在癌细胞识别的决策过程中，我们对于不同错误的接受程度不同，因此不同错误的决策要乘上不同的权重，来衡量决策的风险，也就形成了最小风险决策。
从例子入手：已知某个局部组织中有异常细胞，且正常细胞
和异常细胞
的先验概率为
和
。给一个待识别的细胞，其观测值为x, 从类条件概率密度函数中可查得：
，
。我们的风险如下表：
其中：λij 表示第i类细胞被决策为j类的风险。显然 λij
=0
，因为这是正确决策。
此题中我们给定： λ=λ11,λ12,λ21,λ22=(0,6,1,0)
根据贝叶斯公式可得后验概率为
将x决策为
的风险
为：
红色部分为正确决策的风险，等于零，蓝色部分为分类错误的风险。
显然，
，应该把x判定为异常细胞。
