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空间向量的基本概念
1.空间向量的概念：
定义：
在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。
模长：
向量的大小叫做向量的模，
a
的模长记作￨
a
￨
备注：
文中加粗的小写字母均代表向量。
2.空间向量的运算：
运算法则：
与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法符合三角形法则跟平行四边形法则
运算率：
加法交换律：
a
+
b
=
b
+
a
加法结合律：(
a
+
b
)+
c
=
a
+(
b
+
c
)
数乘分配率：λ(
a
+
b
)= λ
a
+λ
b
3.共线向量：
定义：
如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或者重合，那么这些向量也叫共线向量或者平行向量
共线向量定理：
空间任意两个向量
a
，
b
，且
a
≠
0
，
a
∥
b，
存在实数λ，使
b
=λ
a
三点共线：
此部分的内容与平面向量的三点共线是一致的，A，B，C三点共线能得到以下两个等式。
4.共面向量：
定义：
一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量
备注：
空间内任意的两个向量肯定是共面的，因为向量可以进行平移
共面向量定理：
如果两个向量
a
，
b
不共线，
p
与向量
a
，
b
共面的条件是存在实数x，y使
p
=x
a
+y
b
四点共面：
若A，B，C，D四点共面也可以得到以下两个等式
5.空间向量基本定理：
定理：
如果三个向量
a
，
b
，
c
不共面，那么对空间任一向量
p
，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使
p
=x
a
+y
b
+z
c
备注：
若三向量
a
，
b
，
c
不共面，我们把{
a
，
b
，
c
}叫做空间的一个基底，
a
，
b
，
c
叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：
设O，A，B，C是不共面的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的三个有序实数x，y，z，使：
6.空间向量的数量积：
向量的数量积：
此部分内容也与平面向量相同，
a
·
b
=￨
a
￨·￨
b
￨·cos<
a
,
b
>
备注：
① a
2=￨
a
￨2
② 0
向量与任何向量的数量积均为0
空间向量数量积运算率：
(λ
a
)
b
=λ(
a·b
)=
a
(λ
b
)
a
·
b
=
b
·
a
a·(b
+
c)
=
a·b
+
a·c
7.空间向量的直角坐标系：
空间直角坐标系：
在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点A，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使OA=x
i
+y
j
+z
k
，有序实数组(x，y，z)叫作向量A在空间直角坐标系O-xyz中的坐标，记作A(x，y，z)，x叫横坐标，y叫纵坐标，z叫竖坐标。
备注:
向量
i
，
j
，
k
作为空间直角坐标系的基底，是三个互相垂直的向量，长度为1，这样的基底叫单位正交基底。
建立空间直角坐标系的右手定则:
伸出右手的大拇指、食指和中指，并互为90°，则大拇指代表X坐标，食指代表Y坐标，中指代表Z坐标；大拇指的指向为X坐标正方向，食指的指向为Y坐标的正方向，中指的指向为Z坐标的正方向。
空间向量的坐标运算：
a
=(x1，y1，z1)，
b
=( x2，y2，z2)
a
+
b
=(x1+x2，y1+y2，z1+z2)
a
–
b
=(x1-x2，y1-y2，z1-z2)
λ
a=
( λx1，λy1，λz1)
a
·
b=
x1x2+y1y2+z1z2
a∥b：
x1
=
λx2，y1=λy2，z1=λz2
a
⊥
b
：x1x2+y1y2+z1z2=0
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立体几何在空间向量中的应用
1.法相量
定义：
如果表示向量
n
的有向线段所在直线垂直于平面α，则称这个向量垂直于平面α,记作
n
⊥α，那么向量
n
叫做平面α的法向量.
注意：
①
法向量一定是非零向量;
②
一个平面的法向量不唯一，但所有的法向量都互相平行;
③
向量
n
是平面的法向量，向量
m
是与平面平行或在平面内，则有
n
·
m
=0
求平面法相量的步骤：
①
设一个平面的法向量为
n
=(x，y，z)
②
找出平面内两个不共线的向量,并求出其坐标
a
=(a1,b1,c1)和
b
=(a2,b2,c2)
③
根据法相量的定义建立方程组
④
解方程组，求出其中的一个解，即得到法向量
2.用向量法解决立体几何平行问题
设直线L，m的方向向量分别是
a
，
b
，平面α，β的法向量分别是
n1
，
n2
线线平行：
L∥m⇔
a
∥
b
⇔
a
=k
·b
线面平行：
L∥α⇔
a⊥n1
⇔
a·n1
=0
面面平行：
α∥β⇔
n1
∥
n2
⇔
n1
=k
·n2
3.用向量法解决立体几何垂直问题
设直线L，m的方向向量分别是
a
，
b
，平面α，β的法向量分别是
n1
，
n2
线线垂直：
L⊥m⇔
a
⊥
b
⇔
a·b
=0
线面垂直：
L⊥α⇔
a
∥
n1
⇔
a
=k
·n1
面面垂直：
α⊥β⇔
n1
⊥
n2
⇔
n1·n2
=0
4.用向量法解决立体几何空间角问题
① 两条直线的夹角
两条直线夹角范围为：[0, 90°]
设直线L，m的方向向量分别为
a
，
b
则两直线夹角为：
备注：
两条异面直线的夹角范围为(0, 90°]，注意两条异面直线的夹角不会是0°
② 直线与平面的夹角
直线与平面夹角的范围：[0, 90°]
设直线L的方向向量为
a
，平面α的法向量为
n
直线L与平面α所成的角为：
③ 二面角
二面角的范围：[0, 180°]
设平面α的法向量为
n1
，平面β的法向量为
n2
则平面α-L-β的二面角为法相量的夹角或者法相量夹角的补角。
如果是法相量的夹角：
如果是法相量的夹角的补角：
那么如何判断二面角是法相量的夹角还是法相量夹角的补角呢？
告诉大家一种判断的方法，在α内任意找一点A，β内找一点B，得到
如果
所得结果是同号，那么平面的二面角是两个法向量的夹角
如果
所得结果是异号，那么平面的二面角是两个法向量的夹角的补角
具体如下图：
