博客

1. definition

• Let
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\mathcal A$
  be a collection of subsets（
  
  集合的集合体，collection of subsets
  
  ） of a sample space
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ω
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\Omega$
  ，
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\mathcal A$
  is called
  
  
  
  
  
  
  
  
  σ
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\sigma$
  -field (or
  
  
  
  
  
  
  
  
  σ
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\sigma$
  -algebra)， ifff
  
  • 
    
    
    
    
    
    
    
    ϕ
    
    
    ∈
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $\phi \in \mathcal A$
  • if
    
    
    
    
    
    
    
    
    A
    
    
    ∈
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $A\in \mathcal A$
    ⇒
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    c
    
    
    
    
    
    
    
    ∈
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $A^c\in \mathcal A$
    
    • 
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      ϕ
      
      
      
      
      
      
      c
      
      
      
      
      
      
      
      =
      
      
      Ω
      
      
      ∈
      
      
      
      
      A
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      $\phi^c=\Omega \in \mathcal A$
  • if
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    i
    
    
    
    
    
    
    
    ∈
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $A_i \in \mathcal A$
    , then
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    ∪
    
    
    
    
    
    
    
    
    i
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    i
    
    
    
    
    
    
    
    ∈
    
    
    
    
    A
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $\cup_{i}A_i\in \mathcal A$
    
    • 又由德摩根定律可知，
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      ∩
      
      
      
      
      
      
      i
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      A
      
      
      
      
      
      
      i
      
      
      
      
      
      
      
      ∈
      
      
      
      
      A
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      
      $\cap_i A_i\in \mathcal A$

存在








Ω










$\Omega$
样本空间上的一个








σ












$\sigma$
代数，便构成这样的 pair，








(


Ω


,




A






)










$(\Omega, \mathcal A)$
称为

可测度空间

。

A














$\mathcal A$
是集合的集合体，所以其内部的元素就是集合，称其为可测集。

由以上可知，

• 最小的 σ 域为
  
  
  
  
  
  
  
  
  {
  
  
  
  ϕ
  
  
  ,
  
  
  Ω
  
  
  }
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\{\phi, \Omega\}$
• 最大的 σ 域为
  
  
  
  
  
  
  
  
  Ω
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\Omega$
  的幂集合（power set）

2. 概率测度

• 
  
  
  
  
  
  
  
  {
  
  
  
  Ω
  
  
  ,
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  }
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\{\Omega, \mathcal A\}$
  ：可测度空间；
• 
  
  
  
  
  
  
  
  {
  
  
  
  Ω
  
  
  ,
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  ,
  
  
  ν
  
  
  
  
  }
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\{\Omega, \mathcal A, \nu\}$
  ：测度空间；
  
  • 
    
    
    
    
    
    
    
    0
    
    
    ≤
    
    
    ν
    
    
    
    
    (
    
    
    A
    
    
    )
    
    
    ≤
    
    
    ∞
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $0\leq \nu (A)\leq \infty$
    （这里是可以取到
    
    
    
    
    
    
    
    
    ∞
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $\infty$
    ，如果取不到
    
    
    
    
    
    
    
    
    ∞
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $\infty$
    ，总可以求和得到 1，就弱化为 belief）
  • 
    
    
    
    
    
    
    
    ν
    
    
    
    
    (
    
    
    ϕ
    
    
    )
    
    
    =
    
    
    0
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    
    $\nu(\phi)=0$
  • 可加性；
• 
  
  
  
  
  
  
  
  {
  
  
  
  Ω
  
  
  ,
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  ,
  
  
  ν
  
  
  
  
  }
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\{\Omega, \mathcal A, \nu\}$
  &
  
  
  
  
  
  
  
  
  ν
  
  
  
  
  (
  
  
  Ω
  
  
  )
  
  
  =
  
  
  1
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\nu (\Omega)=1$
  ：概率测度空间，且通常将
  
  
  
  
  
  
  
  
  ν
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\nu$
  记为
  
  
  
  
  
  
  
  
  P
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $P$
  ，也即
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  {
  
  
  Ω
  
  
  ,
  
  
  
  
  A
  
  
  
  
  
  
  ,
  
  
  P
  
  
  
  
  }
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  
  $\{\Omega, \mathcal A, P\}$
  称为概率空间；